N. F. XIV. Nr. 43 



Naturwisscnschaftliche Wochenschrift. 



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nicht nach C,, well die Parallele zu jo; auf G(LJ 

 statt auf G trifft, die beiden Systeme klaffen also 

 gegen den Horizont bin, zwischen C, und C, (LJ. 

 Sollen sie sich hier - - in C, - - beriihren, so 

 mufi das zweite System seine Gnomonspitze in 

 L 2 durch GL 2 || ;x erhalten; nun greift natiirlich 

 der Mittagsschatten des langsten Tages in den 

 Bereich des Systems K iiber, wie die Skizze zeigt. 



Mdglich, dafi der Pergamener Handwerks- 

 meister, dem wir die erhaltene Zwillingsuhr ver- 

 danken, ungefahr so verfahren ist, wie ich's hier 

 beschreibe, wobei die Zugrundelegung von L : 

 ungefahr ebensoviel fur sich hat wie die von L 2 

 (fiir die Gewinnung der noch fehlenden Horizont- 

 punkte zu A und E mufi ich auf meine friahere 

 Arbeit verweisen); wenigstens kommt, wie schon 

 angedeutet, das Resultat dem Tatbestand des 

 Originals ziemlich nahe, wie die Projektion der 

 Meridianschnittpunkte an eine Gerade gleich FH 

 unter der beigegebenen Skizze zeigt. Dort sind 

 die Projektionen aus der dariiber stehenden Figur 

 mit Senkrechten von oben, sodann mil einem 

 Winkel die entsprechenden Punkte des Pergamener 

 Stiickes bezeichnet, endlich mit Senkrechten von 

 unten die Punkte nach meiner Rekonstruktion 

 von 1911; nach Schoy fallen, wie sich von 

 selbst versteht, alle diese Punkte noch erheblich 

 weiter nordlich. 



Doch das alles kommt mir nur wie eine Art 

 Spielerei vor; was durch einen Steinmetzen mifi- 

 verstandlich aus der Erfindung gemacht worden ist, 

 hat schliefilich nur ein sekundares Interesse, selbst 

 fiir den Archaologen. Und fester als je bin ich iiber- 

 zeugt, dafi diese entwederauseinanderklaffenden oder 

 sich nicht unerheblich uberschneidenden Systeme 

 der Idee der Zwillingsuhr nicht entsprechen. 

 V6 1 1 i g zusammenfallen konnen die Grenzlinien der 

 beiden Systeme nicht, -- das hat Schoy 8.402 

 besser auseinandergesetzt als ich , doch ist es 

 (S. 260 f.) auch von mir nicht iibersehen worden ; 

 aber sollte es wirklich nicht die Idee der Zwillings- 

 uhr sein, die Differenz so klein als moglich 

 zu machen, indem man den zwei Systemen statt 

 eines gemeinsamen Punktes im Ouadranten deren 

 zwei gab, d. h. sie sich im Meridian und im 

 Horizont beriihren liefi? Das war meine Auf- 

 fassung 1911 und ist es heute noch. Wie das 

 konstruktiv zu machen ist, habe ich damals ent- 

 wickelt; fiir die Leser dieser Zeitschrift wird die 

 Andeutung einer Skaphe F, M, H, C,, G mit dem 

 Radius M, G = M, C,, geniigen. Um wieviel aber 

 die Kurven, welche in beiden Systemen die Punkte 

 C, und C,, gemeinsam haben, in ihrem Verlaufe 

 voneinander abweichen, das zu berechnen, mufi 

 ich den Fachmannern uberlassen; doch zweifle 

 ich nicht, dafi es bei dem bleibt, was ich 1911 

 ausgesprochen habe, dafi der Grieche, der als 

 Grenze der Systeme einen Kreisbogen C, C,, zog, 

 damit nur ,,eine kleine Ungenauigkeit in Kauf 

 nahm". 



N a c h t r a g. 



Herr Prof. Dr. J. Drecker (Aachen) sendet 



mir, durch die Abhandlung von Schoy auf die 

 Zwillingsuhr aufmerksam gemacht, seine Bearbei- 

 tung der Uhr; er ist ohne Kenntnis meiner Dar- 

 stellung auf mathematischem Wege zu ganz dem- 

 selben Ergebnis gekommen wie ich auf zeichnerisch- 

 konstruktivem. Mit seiner Erlaubnis teile ich seine 

 Losung hier wortlich mit, unter Beigabe der von 

 ihm skizzierten Figur: 



,,Der Vorzug der verschieden langen Gnomone 

 lafit sich analytisch leicht nachweisen. Gibt man 

 ihnen namlich gleiche Lange, so ist diese durch 

 die Bedingung des Zusammenfallens der Schatten 

 im Mittag eindeutig bestimmt. Bei der Annahme 

 verschiedener Lange kann man diese Langen so 

 bestimmen, dafi die beiden in Betracht kommen- 

 den Schattenlinien aufier im Mittag noch in je 

 einem anderen Punkte zu beiden Seiten der Mittags- 

 linie zusammenfallen. Am natiirlichsten wahlt 

 man dazu die Punkte beim Sonnenauf- und -unter- 

 gang. 



Die Rechnung nimmt folgenden Gang : 



1. Es sei I der Abstand der Spitze des Siid- 

 gnomons vom Mittelpunkte der Kugel, x der fiir 

 den Nordgnomon fiir den Fall, dafi die Schatten- 

 punkte im Mittag an der gleichen Stelle liegen 

 (zur Zeit der Wintersonnenwende fiir den Siid-, 

 zur Zeit der Sommersonnenwende fiir den Nord- 

 gnomon), dann ist nach der Figur, die in den 

 ausgezogenen Linien den Meridianschnitt durch 

 die Sonnenuhr darstellt, 



w : (x -j- A) = sin (90 (</> -f- e)) : sin 2 s I ) 

 r' 2 = x 2 -f- w 2 -(- 2 xw sin ((f f) 2) 



Aus diesen beiden Gleichungen folgt : 

 x' 2 [cos 2 (r/> -f- ) -(- sin 271 sin 2e] -\- 2 xA [cos 2 (</>-(-) 

 -j- sin 2 (f sin 2 t] -f- A 2 cos 2 (r/> -\- e) r 2 sin 2 2 e = O 

 oder nach Einsetzung der Konstanten 



<p=38, = 24, r= I 

 A. x = 0,3238 A -I~yo,s866 0,1293 A 2 , 

 d. h. man findet zu jedem beliebigen A ein x, 

 welches der oben gestellten Bedingung geniigt. 



2. Es sei wieder der Abstand auf der Siidseite A, 

 der auf der Nordseite y unter der Bedingung, dafi 

 die beiden Schattenseiten im Horizont zusammen- 

 fallen. Zur Zeit der Wenden ist das Azimut der 

 Sonne bei Auf- und Untergang gegeben durch 

 die Gleichung 



sin 



cos A = -.- . 



sinff 



fiir unseren Fall A = 5856' oder 121 "4'. Die ge- 

 strichelten Linien der Figur gelten fiir den Hori- 

 zont. Es ist 



(y -j- A) : u = sin 2 A : sin A i) 



r = y 



u'-' - 2 uy cos A 



Aus i) und 2) folgt 



y = A (2 cos 2 A i) 2 cos Ayr 2 A 2 sin 2 A 

 oder nach Einsetzung der Konstanten 

 B. y = 0,4672 A -f 1,0322/1 0,7336 A 2 . 



Sollen beide Bedingungen gleichzeitig erfiillt 

 sein, so mufi x = y sein. 



