Naturwissenschaftliche Woclxenschrift. 



XIV. Nr. 31. 



vermiigeus lieg-t in cler Ausbildung dcr mathematisehen 

 Uutersuchnngsmethoden einc Hauptbedingung fiir die er- 

 folgreiche Entwiokelung unseres Wissens vou der Natur. 

 Wir miissen zunachst in der reinen Mathematik eine Be- 

 autwortung der obeu aufgeworfenen Fragen iiber das 

 Wesen nnd die Grundlagen der wissenschaftlich-philo- 

 sophischen Weltanschauung zu findcn versuclien. Die 

 Mathematik ist die Disciplin, welehe die Erscheinungen 

 der quantitativen Verandcrnng nach ilirer Aehnlichkeit 

 nnd Versehiedenheit studirt. Das ist ihrc allgetneinste 

 Definition. Alle andcren Definitionen crgebcn sich aiis 

 dieser als einfacbe Folgerungen oder als Specialfalle. 

 Die Idee der quantitativen Vcranderung und der Ordnung, 

 welcher diese folgt, bildet die Grnndlagc der Mathematik; 

 Die sich verandernde Quantitat wird die v Grander - 

 lichc Gro'sse gcnannt. Die veranderliehcn Grossen 

 kiinnen sicli entweder unabhangig oder in eincr gcvvisscn 

 Abbangigkeit von den Veranderungen auderer Grossen 

 verandern. Dementsprecbend werden unabhangige und 

 abhangige Variable unterschieden. Die abhangigen 

 Variablcn heissen ancli Fnnctionen. Die Mathematik 

 wird somit zu einer Functionentheoric. Diese zweite 

 Definition der Matbematik, welehe aus dcr obigen als der 

 allgcmeinstcn bcrvorgeht, ist ebcnf'alls anuehmbar. Sie 

 geniigt zur Orientirung iiber viele Thatsachen aus dem 

 Gebiete dcr quantitativen Veranderung. 



Die variablcn Grosseu konnen sidi stetig oder un- 

 stctig verandern. Gcmass diesen bcidcn Arten der Ver- 

 anderung werden die Fnnelionen in stetige und uustetige 

 eingetheilt, und die Mathematik selbst zerfilllt in 2 Haupt- 

 abschnittc: in die Theorie der stctigen Functionen -- zur 

 Zeit allgcmeiu die mathematiscbe Analysis gcnanut und 

 in die Theorie dcr unstetigcn Functionen oder die Arith- 

 mologie. 



Einc solche naturliche Eintheilung der reinen Mathe- 

 matik hat sich zur Zeit die voile Anerkenimng der Forscher 

 noch nicht versehat'ft, ist noch nicht zuni Gemeiugute der 

 wissenschaftlicb denkendcn Welt gcworden. Daraus cnt- 

 springen vicle Missverstandnisse in der Classification und 

 in dcr Wiirdignng dcr einzelnen Abschnitte der reinen 

 Mathcmatik. Diese herrscbende Unklarheit in den Aus- 

 gangspunkten dcr wissenschaftlichen Classification beein- 

 thisst in ungiinstiger Weise auch den Charakter der 

 wissenschaftlich-philosophischen Weltanschauung, wie wir 

 zu zeigeii liaben werden. 



Die Theorie dcr stetigcn Functioucn oder die mathe- 

 matiscbe Analysis griindet ihre Methode auf die wicdcr- 

 holte Anwendung dcr Idee der Stctigkeit beim Studium 

 dieser Functionen. Diese Idee im Vercin mit dcr nahe 

 vcrwandt.cn Lehrc von den Grcnzen bildet den wesent- 

 lichcn Inhalt dcr Intinitesimalrechnmig. 



Die Methode der Infinitesimalrechnung oder dcr Diffe- 

 rential- und Integralrcclinung bildet eincs dcr machtigstcu 

 Ilill'smittcl zum Studium der analytischcn Functionen. 

 An!' dcm 15odcn dieser Methode entstand und entwickelte 

 sicli das stattliebc Gebaude dcr mathematisehen Analysis, 

 und diese zeitigtc viele angewandte mathematische Dis- 

 ciplinen. Das Problem der mathematisehen Analysis 

 kommt schliesslich daraut' binaus, alle Funetionen auf die 

 ganzen analytischen Functionen als die einfachstcn und 

 der Rechnung am moisten zuganglichen zuriickzufiihrcn. 

 Zur Losung dieses Problems ist von viclen grossen Geo- 

 metern viel Miihe und Scharfsinn vcrwendet worden. 

 Es iinsscrte sich darin der wundcrbarc Scharfsinn vielcr 

 gcnialer Mathematikcr, und die moderncn Gelehrten diirfcn 

 sich rtihmcn, in dcr Behandlung dieses Gegcnsfandcs 

 eincn hobcn Grad von Vollkommcnhcit erreicht zu habcn. 



Neben der Analysis cntwickclt sich Scbritt fiir Scliritt 

 ein auderes, ebenso stattliches Gebaude der reinen Mathc- 



ncucr, selbstandiger Untersuchungsmittel 

 geschaffen werden. 



niatik - - es ist die Thenric ilcr unstetigen Functionen 

 oder die Arithmologie. Zuerst uuter dem beschcidcncn 

 Namcn der Zablentbcoric erschicnen, tritt sic in letzter 



' Zeit in cine ncuc Phase ilirer Entwickelung ein, und gegen- 

 wiirtig draiigt, alles zur Annahmc, dass die Arithmologie, 



' was den Umfang ilirc.s Matcriales, die Univcrsalitilt ilirer 



| Methoden und (lie merkwiirdige Scbiinheit und 'I'ragweite 

 ilirer Resnltate aubetrift't, der Analysis kaum nachstehcn 



1 diirftc. Die Unstctigkeit ist vicl mannigt'altigcr als die 

 Stctigkeit. Man koiintc sogar bcbauptcn, die Stetigkcit 

 sei eigentlich ein Speciaira.il der Unstctigkeit, in welchcm 

 die Acnderungen in unendlich klcincn und glcichcn Zcit- 

 raumcn cintreten. 



Die Mannigfaltigkeit der Formen, in wclchen sich 

 die Unstetigkcit ausscrn kann, bedingt cs, dass die wissen- 

 schaftlichen Fragen der Arithmologie oft complicirter und 

 schwicrigcr werden, als die cntsprechcnden Fragen dcr 

 Analysis. Die Analysis bildet nur die crstc Stufe in dcr 

 Entwiekelung dcr wisscilscb.aftlieh-mathematischen Wahr- 

 hciten, ihre cinfachstc Erscheinungsform. Daber hatte 

 sich die Analysis zucrst ciitwickelt, da her lenktc sic zn- 

 erst die Aufmerksamkeit dcr Malhematiker auf sich. Zur 

 Ausliildung der Arithmologie braucbt man nicht nur sammt- 

 liche Mittel der Analysis, sondcrn es muss eine Reihc ganz 



und Verfahren 



In dieser Ilinsicht ist die Arithmologie 

 em walircs Arsenal der matlicinatbischcn Methoden; sic 

 vereinigt und sammelt die vcrscbiedensteu Hilfsmittel der 

 mathematisehen Forscbiing. 



Es besteht ein inniger Zusainmenhang zwischen diesen 

 bcidcn Hauptabtheilungen dcr reinen Matbematik. Jcdem 

 griisscren Abschnitte der Analysis kann ein entsprcchender 

 Absi'hnitt der Arithmologie zur Seitc gcstellt werden. 

 Die Erkcnntniss v<m drr Wichtigkeit der Arithmolngie 

 trcffcn wir schon bei den grossen Geomctern, bci Mannern, 

 welehe unsere Wissensebaft in ihrcm vollcn Umfangc zu 

 iiberschauen vermochten. Lame - der beriibmtc fran- 

 zosische Gelehrte und Ingcnieur, nennt ausdrucklich die- 

 jenigen Gelehrten, welehe der Zahlenthcorie keinc ge- 

 biihrende Achtuug schenkcn, die ., Detraeteurs de la science 

 pure" ; Gauss driickt sich folgcndermaassen a.us : 

 Matbematik ist. die Ki'migin der Wissensebaft, aber 

 Arithmctik ist die Kiinigin der Matbematik. 



Die Wahrheiten der Analysis zcichncn sicli durch 

 ihre allumfasscndc Univcrsalitiit aus. Die Wahrheiten 

 der Arithmologie tragen das Gcpriigc der eigenartigen 

 IndividualiUit. sic ziehen uus dnreb ihre geheimnissvolle 

 Kraft und ihrc iiberrascbendc Schonheit machtig an. 



Dadurch crkliirt es sich, warum manchc Philosojiheii 

 verschiedene Fragen dcr mystischcn Pliilnsopbie zu be- 

 stimmten ganzen Zablen in Beziehun'g zu sctzen jiflegten. 

 Die arithmologiseben Deduetioneu bcfricdigcn gc.\\ p isscr- 

 maassen das -istlietischc Gefiihl, glcichwohl ob sic zur 

 nnmittelbaren Ucbertragung auf die Natur- und Lebens- 

 crscheinungcn gecignct sind oder nicht. 



Ausser der Analysis und der Arithmologie, sind noch 

 die Geometric und die Wahrschcinlielikcitsthcorie als 

 Hauptabtheilungen der reinen Matbematik zn betrachtcn. 

 In der Geometric ist die zn nntersuchende Gn'issc cine 

 Strecke. Die Wahrscbeinlichkeitstheorie ist die Lchrc 

 von den zufalligcn Erscheinungen. Hier ist die zu unter- 

 suchende Quantitiit die Moglichkeit dcs Auftreteus 



ciner zuialligen Erscbeinung. 



In der Geometric linden die Methoden der Analysis 

 und der Arithmologie Anwendung, und insofern kann sic 

 als cine angewandte matbematische Disciplin betrachtet 

 werden. Allein auch die Geometric besit/.t ihrc selbst- 

 standigeu Methoden; sie ergebcn sieb aus dem Umstande, 

 dass die Raumverhiiltnissc unsercr sinnlichen Wahrnehmuug 



