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Naturwissenschaftliche "Wochenschrift 



XVI. Nr. 27. 



nun auf die klassischcn Untersuchungon Sehwendener's 

 niiher eingehcn, in dencn cine wirkliche Begriindung dor 

 angedeuteten Verhaltnisse gegeben wird. 



Ausgeheud von der Beobachtang der durch gegen- 

 seitigen Druck bcdingtcn Verschiebungen seitlicher Organe, 

 sowie der Stellungsanderungen, welche durch allmahh'che 

 Grossenabnahme der Organe hcrvorgerufen wcrden, nabni 

 Srinvendencr Veranlassung, .,auch diejenigcn Seiten der 

 Blattstellungsfrage, \vclclic einer exakt-wissenschaftlicheu 

 Behandlung am wenigsten fahig sind, der mechanischcn 

 Betrachtungsweise zu unterzichen", wie /,. B. die Anlegung 

 neuer Organe ini Anschluss an bereits vorhandene Vcr- 

 hiiltnisse ini Ban der Bliitlien n. a. 



Bei der Betrachtung irgend eiues Systems von spiralig 

 angeordnetcu seitlichen Organen, wie z. B. eines Tannen- 

 zapfens, CompositenkOpfchens u. s. w., fallt zuerst ins 

 Auge, dass die Glieder in rechts- uud linkslaufigen, un- 

 gleich geneigtcn Schragzeilen, sogenannten ,,Parastichen", 

 stehen, die spiralig nra die Achse verlaufen. Sie lasseu 

 sich niit Leicutigkeit abzahlen, wahrend dagegen der 

 Verlauf der Grundspirale oft schwierig zu erkeunen ist. 

 So linden wir z. B. bei eiuem Coniferenzapfen die Zahl 

 der Parastichen linksherum 5, in entgegengesetzter Richtung 

 s, bei eineui auderen 8 und 13 (die Zahl ist natiirlich 

 den grossten Schwankungen uuterworfen); oder es zeigen 

 die Schuppen oder Nadcln eiues Kiefernzweiges, die Blatter 

 eines Laubsprosses eine 2- und 3-, oder auch 3- und 5- 

 zeilige Anordnuug; oder wir sehen auch viel lioherc 

 Ziffern zur Geltung kommen, etwa 13 Zeilen nach einer, 

 "21 nach der anderen Seite, oder 21 und 34 u. s. w. 

 Ordnet man alle diese Zahlen der Gro'sse nach von links 

 nach rechts ansteigend, so ergiebt sich eine Reihe, in der 

 jedes folgeude Glied gleich der Summe der beiden vor- 

 hergehcndcn ist: 



1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ..... 



Wird eine der genannten Stellungen aus dicser Reihe 

 ins Augo gcfasst, und werden besonders die Blatter be- 

 achtet. die genau oder wenigstens nahezu in der Langs- 

 linie iibcreinandcr liegen, eine sog. ,,0rthostiche" bilden, so 

 nchmen wir z. B. bei dreikantigen Cacteen und Cyper- 

 aceen wahr, dass das niichste scnkrecht iiber cinem als 

 bezeichncten Ausgangsblatt liegen de Organ das Blatt 3 

 ist, dass mithin der Abstain!, die Divergenz von einem 



Blat! bis 7,11111 niichsttolgenden auf der Grundspirale T> 



o 



des Staimnnmfanges, also 120 betragt, auf eincn Kreis 

 projicirt. Sind z\vci Orthostiehen vorhanden, so ist die 



Divergenz d. h. 180. Findet man beim Verfolgcu der 



t 



Grundspirale, dass Blatt 5 in der Langslinie fiber liegt, 

 so sind zwei Uitilanfe erl'orderlich, um von zu 5 zu 

 gelangen, die Divergenz zwischen zwei aufeinander fol- 



> 9 . ggQ (i 



genden Organen bctriigt also '. 144. Liegt S 



> o 



3 



iiber 0, so divergiren je zwei Blatter um ' des Stanim- 



o 



luiifanges. Ebenso lasscn sieh die Divergenzen , 



13 



, 



1 O 



u. s. f. crniitteln. Ks ergcben sich also sters 

 ,34 o5 



Briiche, deren Zahler die Anzahl der Stammmulaufe von 

 einem Blatt bis zum niidisten auf der Orthostiche iiber 

 ilim stelicnden angiebt, wiihrend der Nenner die Zahl der 

 auf diesein VVege vorhandeiien Blatter bezeichnet. Aus 

 ilirscn Briiehcn, die. wie crsichtlich, dicselben Ziffern ent- 

 halten, wie die oben genaimte li'c-ilic, 1-isst sich nun eben- 

 falls cine Reihe konstruircn, und /war ist der /abler 



jedes Gliedes gleich der Snmme der Ziihler der beiden 

 vorhergehenden Briiche, und ebenso verhalt es sich niit 

 den Nennern. Die Reihe lautet also : 



1 1 2 3 ^ 8 13 



2' 3' 5' s' 13' 21' 34 ' 



Die Angabe der Lehrbiichcr, dass diese Reihe die 

 am baufigsten vorkommenden Divergenzen darstelle, ist 

 ungenau; denn beliebige Zwischenwerthe sind wenigstens 

 ebenso oft zu beobachten, wie diese Briiche. Eine ein- 

 fache niathematische Betrachtung lehrt nun, dass diese 

 Divergeuzen die Naherungswerthe eines Kettenbruches 

 darstellen von der Form: 



und zwar sind die Briiche alteruirend grosser uud kleiner 

 als der wahre Werth dieses Kettenbruches. Sie conver- 

 gircn nach einem Grenzwerth, der sich durch eine 

 quadratische Gleiehuiig berechucu liisst; er betragt 

 137 30' 28".*) 



Neben der genannten Reihe 1, 2, 3, 5, S ... siud 

 gelegeutlich, allerdings viel seltener, andere, nach dem 

 gleichen Gesetz konstruirte Reihen zu beobachten, die man 

 wohl der Seltcnheit ihres Vorkommens halber als ,,Neben- 

 reihen" bezeichnet, im Gregcnsatz zu jener, der n llau))t- 

 reihe". Hierher gehort z. B. die Reihe 1, 3, 4, 7, 11, 



18 ... Auch bier betragt die Divergenz .,, wenn die 

 Dreier/eilcn geuau longitudinal gestcllt sind. , wenn die 



Viererzeilen, ", wenn die": : Siebenerzeilen Orthostiehen 



bilden u. s. w. Weitert 1 Reihen sind: 



1, 4, 5, '.(, 14. 23 . . . 

 1, f>, 0. 11, 17, 28 . . . 



1, (1, 7, 111. 20, 33 . . . u. s. w. 



Ferner kommen Reihen vor,;welche mit ciner hohereii 

 Ziffer als 1 beginnen, wie z. B. : 



' 2, 5, 7, 12, 19, 31 . . . 



2, 7, 9, 16, 25, 41 ... u. s. f. 



auch solchc, die niit 3 und 4 u. s. w. anfangen. 



Reihen, wie 2, 4, (>, 10 ... oder 2, (5, 8, 14 ... 

 sind Tnicht moglich, da sie Doppelspiralen darstellen 

 (1, 2, 3, 5 ... oder 1, 3, 4, 7 . . .). 



Alle diese Reihen wurden sehon von den Gebrudern 

 Bravais aufgestellt, und cs wurden die Grenzwerthe aller 

 berechnet. Viele von ibnen kommen nun aber in der 

 Natur n ur selten vor, oft nur in Folgc von zutalligen, 

 durch mcchanisebe Einwirkungen|verursaehten Storungen 

 in den bis daliin lierrschenden Stellnngsverhaltnissen. 

 Welche hervorragcndc Rolle meehanische Faktorcn in der 

 vorliegenden Frage spielen, war ja sehon oben knrz au- 

 gedeutetjworden und soll^im^Folgenden niiher ausgeluhrt 

 werden. 



*) Die Boroi'linung dieses Kcltonbruirlics ist'inKiirzo folg 

 Mtm sctzt - =x;ilanucrl), : ilt man: 



., 



" ~i~ x 9 _i_ 



'"" 1 + x 



Hinraus crgirbt sich x = y , mithin x + x 2 =- 1 . \\ onins fiir 



3 _ I , 

 ilni Worth (li'S Ki'tti'iitinu-hi's 



