N. F. IV. Nr. 7 



Naturwissenscliaftliche Wochenschrift. 



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Die Beispiele liefien sich leicht durch die Be- 

 trachtung der Warmeleitung , der Reibung etc. 

 mehren, indessen wird das Gesagte hinreichen, 

 um den Satz glaubwiirdig zu machen : Die natiir- 

 lichen Prozesse vollziehen sich so, dafi die Wahr- 

 scheinlichkeit der Zustandsverteilung immer grofier 

 wird. In dieser Fassung gestattet er aber bereits 

 eine unmittelbare Vergleichung mit dem Satze, 

 dafi bei alien natiirlichen Prozessen die Entropie 

 wachst, und vvir konnen vermuten, dafi der Begriff 

 der Entropie mit jener Wahrscheinlichkeit etwas 

 zu tun haben mufi. Um den Zusammenhang 

 scharf zu fassen, hat an diesem Punkte die mathe- 

 matische Behandlung den Hebel einzusetzen. 



Hier handelt es sich zunachst darum , diese 

 Wahrscheinlichkeit genau zu definieren , was 

 Boltzmann auf folgende Weise gelungen ist. 

 Das betrachtete Gas moge aus N Atomen be- 

 stehen, die wir uns, um sie voneinander unter- 

 scheiden zu konnen, numeriert denken wollen : 

 i, 2, 3 ... N. Der Zustand des ganzen Systems 

 wird uns dann bekannt sein, wenn wir von jedem 

 Atom Lage und Geschwindigkeit in einem ge- 

 gebenen Zeitmoment kennen. Die ortliche Lage 

 konnen wir uns durch ein raumliches Coordinaten- 

 system angegeben denken , die Geschwindigkeit 

 nach Grofie und Richtung ganz ahnlich durch 

 ein zweites , aufierhalb des ersten vorzustellendes 

 Coordinatensystem, in welchem wir auf den Achsen 

 aber nicht Strecken, sondern Geschwindigkeiten 

 aufgetragen denken. Auf diese \Veise ist der 

 Zustand eines Atoms durch je einen Punkt in 

 jedem Coordinatensystem darstellbar. Denken 

 wir uns nun noch die Raume der beiden Coordinaten- 

 systeme in Volumenelemente geteilt, die wir beim 

 Lagensystem durch die Bezeichnungen I, II, III ... ., 

 beim Geschwindigkeitssystem durch I', II', III' .... 

 auseinanderhalten wollen, so konnen wir auch den 

 Zustand eines Atoms durch zwei Zahlen dieser 

 Art charakterisieren ; oder schliefilich , wenn wir 

 jede mogliche Kombination der Zahlen I, II etc. 

 und I', II' etc. in vorhei festgelegter Weise durch 

 einen der Buchstaben a, b, c .... bezeichnen, so 

 gibt eben jeder solcher Buchstabe fur sich schon 

 den Zustand des Atoms an. Schreiben wir nun 

 unter jedes der Atome I, 2, 3 . . . N den dazu- 

 gehorigen Buchstaben, so gibt uns die entstehende 

 Buchstabenreihe den Zustand des Systems. Von 

 den N vorhandenen Molekeln mogen N a auf den 

 Zustand a, \i, auf den Zustand b etc. entfallen, 

 so dafi 



N., + Nb + N c + ....= 



Vertauschen vvir nun zwei Atome der Gruppen 

 a und b untereinander, so wird, da diese Teilrhen 

 ja ganz gleichartig sind , dadurch keineswegs der 

 physikalische Zustand geandert , wohl aber be- 

 kommt die Buchstabenreihe ein anderes Bild , so 

 dafi wir sagen konnen : diese aus der ersten Reihe 



durch Permutation erhaltene neue Reihe gibt'uns 

 denselben physikalischen Zustand; und ferner: 

 je mehr Permutationen dieser Buchstabenreihe 

 moglich sind , durch um so mehr Moglichkeiten 

 kann dieser betreffende physikalische Zustand er- 

 halten werden, d. h. aber: um so wahrscheinlicher 

 ist er. So ist die Zahl der Permutationen dieser 

 Buchstabenreihe ein unmittelbares Mafi fur die 

 Wahrscheinlichkeit des bestehenden Zustandes. 

 Liegen z. B. alle Atome in einem einzigen Volumen- 

 element und sind sie alle mit der gleichen Ge- 

 schwindigkeit begabt, so haben alle den gleichen 

 Zustand, den wir beispielsweise mit dem Buch- 

 staben c bezeichnet haben , und unser Schema 

 wiirde den Anblick gewahren : 



i 2 3 ... N 



c c c . . . c, 



mithin eine Buchstabenreihe ergeben , deren Per- 

 mutationszahl i ist, befindet sich dagegen jedes 

 Atom an einem anderen Ort und haben alle ver- 

 schiedene Geschwindigkeiten, so ist N! die Zahl 

 der moglichen Permutationen, dieser Zustand also 

 ungeheuer viel wahrscheinlicher als der erste. 

 Unter den oben gemachten Annahmen ist nun 



P _NJ_ 



N a ! . N b l 



die Zahl der moglichen Permutationen , und von 

 dieser Grofie hat Bol tzman n nachgewiesen, dafi 

 sie mit der Entropie S des Systems durch die 

 einfache Gleichung zusammenha'ngt : 



S -~ A . log nat P -|- constans, 

 worin A eine Grofie bezeichnet, die sich bei den 

 betrachteten Prozessen nicht andert. Dieser Zu- 

 sammenhang macht es moglich, dem Entropiesatz 

 die Fassung zu geben , dafi die Prozesse in der 

 Natur sich in der Richtung abspielen, dafi sie 

 immer wahrscheinlicheren Zustanden in 

 dem eben dargelegten Sinne zustreben. 



Diese Betrachtungen waren korrekterweise noch 

 durch die Annahme zu erweitern, dafi Atome ver- 

 schiedener Art auftreten; die Uberlegungen wer- 

 den hierbei, ohne wesentlich Neues zu bieten, in- 

 dessen viel verwickelter, weshalb wir darauf ver- 

 zichten wollen, sie darzulegen. Die Permutations- 

 zahl ist, wenn wir die auf die einzelnen Gasarten 

 beziiglichen Grofien N durch Indices unterscheiden: 



NM N"! 



"N a 'l Nb'7777" N a "! N b "f.7T ' 



Diese Boltzmann'sche Darstellung des zweiten 

 Hauptsatzes der Warmelehre, welche die schonste 

 Frucht der kinetischen Gastheorie ist, nimmt dem- 

 selben das Befremdende und fiir die Anschauung 

 Schwierige, sich eine Grofie vorzustellen , welche 

 sich immer nur in. einem einzigen Sinne andern 

 soil, und deswegen ist sie wohl die geeignetste, 

 von dem Wesen des Entropiebegriffes eine leicht 

 fafiliche Vorstellung zu geben. 



