G. Duncker, Die Methocle tier Variationsstatistik. 249 



einbeit auf jecles Individuum einwirken kb'nnte, in jeclem einzeluen Falle jedoch 

 nur zum Teil einwirkt. Dieser Teil ist eine beliebige Kombination von positiv 

 und negativ wirksamen Variationsursachen tmd besitzt als solclie eine grb'Bere 

 oder geringere Wahrsclieinlichkeit, welcher entsprechend aucb ihr Effekt inner- 

 balb der Gesamtheit der Individuen haufiger oder seltener eintritt. Die Gruppe 

 der positiv wirksameu Ursaclien kann der negativen an Uinfang gleich oder 

 von dieser verscbieden sein. 



Von deraitigen Ueberlegungen ausgebend bat man die Variationsreiben 

 numerischer Eigenschaften mathematisch untersucht und thatsachlich gefunden, 

 dass die Grolje der Variantenfrequenzen dem Gesetz der Wahrscheinlichkeit 

 von Kornbinationen nacb den eben besprochenen Bedingungen imterliegt, ein 

 Gesetz, fiir welches neuerdings Pearson [12] einen umfassenden Ausdruck in 

 seiner verallgemeinerten Wabrscheinlichkeitskurve (Variations- 

 kurve) gefunden hat. Dies ist meines Wissens der erste Nachweis von einer 

 mathematischen Gesetzinassigkeit biologist-hen Geschebens. Die weitere 



Thatigkeit bei der Untersuchung einer Variationsreibe besteht also in der Auf- 

 findung der ihr Variationspolygon bestiuimenden Wahrscheinlichkeitskurve. Sie 

 setzt das Studiuin der bereits zienilicb umfangreiclien uiatheniatiscbrn Litteratur 

 iiber diesen Gogenstand voraus, und icb kann daber an dieser Stelle nicht 

 naher auf sie eingeben. Die Methocle Pearson's babe ich kiirzlich in einer 

 Form dargestellt, welche speziell fiir den Gebrauch seitens des Biologen be- 

 rechnet ist [7], 



Die Variationskurven siud symmetrisch, wenn die beiden Gruppen von 

 Variationsursachen gleich, oder asymrnetrisch, wenu dieselben ungleich groB 

 sind, und iunerbalb der Forineueinheit stets eingipflig. Bei synimetrischen 

 Kurven fallen die Gipfel- und die Schwerpunktsordinate zusammen (Fig. 31), 

 wahrend sie bei asymnietrischen einen Abstand von einander aufweisen (Fig. 3), 

 der mit der Asymmetric der Kurve wachst. Driickt man diesen Abstand durch 

 den Variabilitatsinclex aus, so erhalt man eine unbeuannte Zahl, den Asyui- 

 metrieiudex (A) der Kurve, welcher entsprechend der Stellung der Schwer- 

 punkts- zur Gipfelordinate entweder positiv oder negativ ist. Positive Kurven- 

 asymmetrie bedeutet Ueberwiegen der wirksamen Variationsursacben, negative 

 das Gegenteil. 



Fragt man also nach der Variation einer numerischen Eigenschaft bei 

 einer Formeneinheit, so wird diese Frage durch Angabe des Durchschnitts- 

 werts, des Variabilitats- und des Asynnnetrieindex, sowie durch die 0-rdinaten- 

 formel der Variationskurve der Eigenscbaft vollstandig beantwortet. Aus 

 diesen vier Daten kann uian die Variationsreibe jeclerzeit bis auf eir.en gering- 

 fiigigen Fehler 1 ), der mit steigender Anzahl der untersucbteu Individuen ab- 

 nimmt, rekonstruieren. Die ersteu drei derselben lauten fur unser Beispiel 

 (Palaemonetes) M = 4,3137, F = 0,8627, A - - 0,1735; die Kurve selbst 

 (Fig. 3 a) ist eine Variationskurve des Typ IV (Pearson [12]) von der Form 



y = y (cos ft) 2 e - - 7f> > 



in welcher y , m und ^ durch Rechnung zu bestimmende Constante und & - 

 f (x) die Variable bedeuten. Der Fehler, um \velcben sich das empirische und 

 das berecbnete Variationspolygon (Fig. 1) nicht decken, betragt nur 0,3 / der 

 Area jeues derselben, wie sich aus der vorziiglichen Uebereinstimmung der 



1) Die Grb'Ce des Feblers ist bei sonst glcicbeu Bedingungen unigekehrt 

 proportional der Wurzel aus der Zahl der untersuchten Individuen. 



