N. F XIII. Nr. 21 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



325 



mit 34 Aufgaben 14 (41,17",,) gegen u (32,35 / ) 

 Versager; die 3. Gruppe von 20 sehr schweren 

 Aufgaben 2 (io/,,) gegen 4 (2o"/,, Versager. 

 Dieses mathematische Gewand konnte iiber den 

 \Vert seines Inhaltes tauschen. Ich habe mich 

 deshalb die Miihe einer Nachpriifung auf genau 

 gleicher Grundlage an dem von F. Hempel- 

 niann gewonnenen Antwortenmaterial Muha- 

 med's nicht verdriefien lassen. Dieser nennt 

 neben wenigen unter die i. der obigen 

 Gruppen zu wcisenden 29 Rechenaufgaben der 

 2. und 1 8 Aufgaben der 3. Gruppe, also fast die- 

 selbe Anzahl, welche L. Plate die Grundlage 

 seiner Statistik geliefert hat. Ich finde unter den 

 29 Aufgaben der 2. Gruppe: 7 sofort und i sofort 

 ,,mit Einhilfe" richtig gegebene Losungen , 8 

 nach Fehlschlagen richtige nebst i sodann mit 

 ,,Einhilfe" richtigen, 2 spater (inmitten folgender 

 Fragen) richtige, 9 ganzlich versagte Antworten. 

 Ich verzeichne fur die 3. Gruppe: 4 sofort 

 richtige und 2 mit ,,Einhilfe" richtige, 7 nach 

 Fehlschlagen richtige, 3 spater richtige Ant- 

 worten und nur I, die einzig in einer anderen 

 richtigen Antwort zutreffend enthalten war ! Hier- 

 mit ist der Unvvert der L. Plate'schen 

 Statistik vollkommen erwiesen. Aber 

 selbst, wenn sie sich bestatigt hatte, wiirde sie in 

 Riicksicht auf die noch folgenden Einwande nur 

 eine Parallelitat zwischen menschlicher 

 Lei stung und jener der Pferde dartun, 

 keineswegs ,,nur die Erklarung zulassen, dafi 

 es sich bei den Pferden '(d. h. eben bei diesen 

 und nicht etwa bei K. Krall! Verf.) um Ver- 

 standesoperationen handelt, welche um so ofter un- 

 richtig ausfallen, je schwieriger die gestellten Auf- 

 gaben sind" ( 4 S. 265). Ubrigens wiirde der 

 ganze statistische Bau schon iiber die stetig wieder 

 berichtete Eigenart der Pferde stiirzen, dafi sie 

 in spontaner ,,Unlust", wie es heifit, gerade bei 

 den leichtesten Aufgaben nicht selten 

 versa gen. 



Auch H. E. Ziegler, einer der erklartesten 

 Anhanger K. K rail's, versucht ! vergebens, in 

 das Gebiet der Mathematik zu fliichten. 

 Er wendet sich gegen gewisse statistische Nach- 

 weise von Gegnern; ich mui3 mich getroffen er- 

 klaren, ohnc genannt zu sein. Ich wiirde aber 

 den Rahmen dieser Ausfiihrungen weit iiberschreiten, 

 wollte ich an der ganzen Folge von Unrichtig- 

 keiten hier Kritik iiben. Ich treffe auch den I n h a 1 1 

 des Irrtums zu einem wesentlichsten Teile, 

 wenn ich die Priifung auf H. E. Ziegler's Worte 

 beschranke: ,,Wenn ich einem Kinde 10 gleich- 

 artige Divisionsaufgaben stelle, wobei jeweils eine 

 zweistellige Zahl herauskommt, und es werden nur 

 ein oder zwei Aufgaben richtig gelost, so ist da- 

 mit schon bewiesen, dafi das Kind das Divisions- 

 verfahren verstanden hat, denn sonst hatte es keine 

 einzige Aufgabe losen konnen." 



Vollkommen unrichtig, besonders auch im vor- 

 liegenden Falle. Die mathematische Wahr- 

 schei nl ichkeit ist gleich einem Bruche, dessen 



Ziihler gleich ist der Anzahl der giinstigen Falle, 

 dessen Nenner der Zahl der moglichen Falle gleich- 

 kommt. Zur Gewifiheit (,, bewiesen") wird die 

 Wahrscheinlichkeit nur dann, wenn jeder mogliche 

 Fall giinstig, der Bruch gleich i ist. Variationen 

 von 10 Elementen zur 2. Klasse mit \Yiederholung 

 gibt es rein mathematisch 100 Komplexionen, hier 

 verwertbar 90 (es entfallen oo, 01 bis 09). Fiir 

 jede einzelne der 10 Aufgaben gibt es eine einzige 

 richtige Losung. Die Wahrscheinlichkeit, eine 

 der Aufgaben mit zweistelligem Ergebnis in diesem 



richtig zu erraten, wird daher gleich . Werden 



9 

 aber loAufi/abensjestellt und soil dieVerschiedenheit 



O O 



bestimmt werden, dafi eine dieser voneinanderunab- 

 hangigen Aufgaben zutreffend im Ergebnis erraten 

 werde, erhoht sich die Wahrscheinlichkeit damit auf 



denSummenwert der loBriiche; sie ist daher = . 



90 9 



Das Eintreffen ist also immer noch unwahrscheinlich. 



Nun scheint aber H. E. Ziegler dabei ganz- 

 lich zu iibersehen, dafi die Losu n gstreffer 

 meist erst nach einer ganzen Reihe von 

 Fehlschlagen erzielt worden sind. So zahlt 

 L. Plate ( 4| , S. 265) unter den 20 sehr schweren 

 (d. h. Wurzel-Aufgaben) 2 sofort, 4 nicht richtig 

 beantwortete ; d. h. 70 % derart nach Fehlschlagen 

 gefundene Losungen. Es ware fiir die genauere 

 weitere Bestimmung der fraglichen Wahrscheinlich- 

 keit notwendig, statistisch nachzuweisen, wie grofi 

 durchschnittlich die Zahl der Fehlschlage bzw. 

 Einhilfen gewesen ist. Leider reichen dazu die 

 Protokolle schlecht aus; mit Ausdriicken ,,Viel- 

 mals f", ,,Nach vieler Miihe" ist nichts anzufangen. 

 Wenn ich z. B. nur die 9 betreffenden Wurzel- 

 aufgaben bei L. Plate in Betracht ziehe, deren 



eine Ergebnisfolge (fiir 1/32768) lautet: 18, 8, 7, 

 38, 45, 34, 8, 44, endlich r. 32), so begegne ich 

 23 Fehlantworten vor den 9 richtigen, d. h. je 



2 ; im ganzen 3 Antworten zu jeder Aufgabe. 



Doch miissen auch die oft erheblich langeren 

 Reihen von Fehlschlagen der ungelost gebliebenen 

 Aufgaben beriicksichtigt werden, welche die durch- 

 schnittliche Zahl der Antworten auf sicher nicht 

 weniger als 4 erhohen diirfte. Es ist aber ganz 

 selbstverstandlich, dafi sich die Wahrscheinlichkeit 

 proportional der Zahl der Antworten erhoht. Sie 



i 4 v 

 I I 



I o 40 



wiirde im obigen Beispiele von aut 



steigen. 



Nunmehr eine andere bedeutungsvolle F'est- 

 stellung. Bisher ist vorausgesetzt worden, dafi die 

 10 Ziffern o bis 9 in den zweistelligen Ergebnis- 

 komplexionen uneingeschrankt gleichmafiig auf- 

 treten. Alles andere als das! Schon 7| S. 546 habe 

 ich hervorheben miissen, dafi die Ziffern eine 

 sehr weitgehende Auswahl erleiden. 

 So fanden sich unter den betreffenden 13 r. Lo- 

 sungen der H. v. Bu 1 1 el -R eep en 'schen bzw. 



