Naturwissenschaftliche Wochenschrift 



N. F. XVIII. Nr. 2 



3 solche Symmetrieebenen, aber da diese jede 

 beliebige Stellung haben konnen, so ist die Kugel 

 nur ein Grenzfall der letztbeschriebenen Symmetric 

 ebenso gut wie auch fur jede andere. Die Sym- 

 metric der Kugel hat keinen bestimmten Character. 



Die nachste Verallgemeinerung ist dann, dafi 

 statt der 3 Achsen eine beliebige Anzahl vorhan- 

 den ist, die alle durch einen Punkt gehen miissen. 

 Einfache und ziemlich bekannte Beispiele hierfiir 

 bieten die regularen Korper. Das Tetraeder 

 z. B. hat 4 Symmetrieachsen, deren jede 3 Sym- 

 metrieebenen enthalt; im ganzen sind es aber nur 

 6. Symmetrien dieser Art, z. T. von hochster 

 Kompliziertheit sind in der Natur verwirklicht. 

 Man findet meisterhafte Abbildungen in Haeckel's 

 ,,Kunstformen der Natur", z. B. die erstaunliche 

 Sagenoscena stellata auf Tafel 61. 



Diese kurze Darstellung der Symmetrieverhalt- 

 nisse, die bei Organismen vorkommen, wird den 

 Mathematiker nicht befriedigen. Die Beschreibung 

 ist weder vollstiindig noch systematisch und schon 

 die Definition ist exoterisch, denn in der Geometric 

 erscheint die Symmetric als besonderer Fall einer 

 allgemeinen Verwandtschaft. Jedoch nicht eine 

 geometrische Behandlung, sondern eine biologische 

 Erklarung der Symmetric soil hier versucht wer- 

 den. Dabei wird das Hauptgewicht gelegt auf 

 .die Ursachen der bilateralen Symmetrie der hoheren 

 Tiere, weil sie vollstandig durch mechanische Be- 

 trachtung erklart werden kann; die komplizierteren 

 Symmetrien, die bei niederen Organismen vor- 

 kommen, sind weniger ergiebig. 



Wenden wir uns also nach dieser rein for- 

 malen Einleitung zu der Hauptfrage: Welche 

 natiirlichen Ursachen hat die Symmetrie f 



Man denke sich ein Lebewesen in einem 

 homogenen Medium, so ist gegeben ein Gegen- 

 satz zwischen innen und aufien. Schiitzende 

 Hiillen und Organe der Fortbewegung miissen 

 aufien liegen; die Assimilation findet naturgemafi 

 im Innern statt. Fur symmetrischen Bau ist keine 

 Ursache angebbar. Wenn aber das Lebewesen 

 klein ist, so kann es jede beliebige Form haben, 

 denn die Beschrankungen im Bauplan treten erst 

 mit zunehmendqr Grofie auf. Der einfachste Fall 

 ware dann der, dafi von einem Zentrum nach 

 jeder Richtung dieselbe Gestaltung ausgeht. 



Die vollige Gleich,wertigkeit aller Richtungen 

 findet ihren raumlichen Ausdruck in einem Auf- 

 bau aus konzentrischen Kugelschalen, deren jede 

 in sich gleichartig ist. Diese Schalen brauchen 

 nicht geschlossen zu sein, sondern konnen gitter- 

 artig aussehen oder aus kongruenten Flatten be- 

 stehen, die sich auf einer Kugelflache gleichmafiig 

 verteilen. Wenn nun die Knoten des Gitters oder 

 die Flatten mit dem Zentrum verbunden sind 

 oder wenn sie nach aufien radiale Fortsatze tragen, 

 so zeigen sie das bekannte Bild der Strahlenkugel. 

 Beispiele: Haeckeliana porcellana Murr. ') oder 



Haliomma erinaceus. ] ) SchlieSlich kann auch die 

 radiale Struktur iiberwiegen, dann sieht man von 

 einem Zentrum aus gleichartige Radien in gleich- 

 mafiiger Verteilung ausstrahlen; Beispiel : Prista- 

 cantha polyodon Haeck. e ) und viele andere ,,Ra- 

 diolarien". 



Die Natur lost hierbei die Aufgabe, n Punkte 

 auf einer Kugelflache gleichmafiig zu ver- 

 teilen. Fiir n = 4, 6, 8, 12 und 20 wird diese 

 Aufgabe durch die regularen Korper gelost, d. h. 

 die 20 Ecken eines Ikosaeders verteilen sich 

 gleichmafiig auf der umbeschriebenen Kugel. Diese 

 Losung hat die Natur angenommen bei Circogenia 

 icosahedra Haeck. :i ) Jedoch konnen 20 Radien 

 auch auf andere Weise im Raume gleichmafiig 

 verteilt werden; fin die Acanthometra z. B. nach 

 dem ,,Ikosakanthengesetz" (s. die schon zitierte 

 Pristacantha), das auch den Eindruck volliger 

 Gleichmafiigkeit hervorbringt. 



Alle diese moglichen Bauplane, die der Aus- 

 druck gleichmafiiger Verteilung um einen Punkt 

 sind, werden von selbst symmetrisch. Meist sind 

 viele Symmetrieebenen und viele Achsen vorhanden. 

 Man wird nun beim Betrachten zahlreicher Pro- 

 tozoen und einzelliger Pflanzen leicht die Uber- 

 zeugung gewinnen, dafi die Symmetrie der symme- 

 trischen ebenso zufallig da ist, wie sie bei den 

 zahlreichen asymmetrischen, z. B. alien spiraligen 

 fehlt. Sie ist der laumliche Ausdruck der Gleich- 

 wertigkeit von n Richtungen und bedarf weiter 

 keiner Erklarung. Wie das hexagonale Muster 

 der Bienenwabe stellen sich diese Symmetrien 

 unter dem rau m lie he n Zwange von selbst ein. 



Ich gehe nun iiber zu den Symmetrien, die 

 mechanisch bewirkt sind. -- Der unendlichen 

 Fiille von Entwiirfen, die bei den kleinsten Lebe- 

 wesen verwirklicht sind, setzt zuerst die Schwer- 

 kraft eine Grenze. Bei einem g r o fi e n Organis- 

 mus stehen namlich die unteren Teile unter dem 

 Druck der oberen. Das fu'hrt zu einer der 

 Schwere entsprechenden Anordnung der Organe 

 oder zur Ausbildung besonderer Stiitzen und 

 dabei mufi die Gleichwertigkeit der Richtungen 

 aufgegeben werden. Grofiere Organismen konnen 

 deswegen nicht strahlenkugelig sein. Hier zeigt 

 sich also, dafi die Grofie als solche fur den Korper- 

 bau von Bedeutung ist. 



Alle einigermafien grofien Gebilde der Natur 

 und der Kunst 4 ) stehen unter dem gestaltenden 

 Einflufi der Schwere. Diese bewirkt einen 

 Unterschied zwischen unten und oben, oder 

 anders, sie gestattet nicht, dafi Symmetrie zu 

 einer wagerechten Ebene stattfinde. Dagegen 

 ist es fiir die Schwerkraft gleichgiiltig, ob iiber- 

 haupt keine Symmetrie stattfindet oder nur zu 

 einer senkrechten Ebene oder zu mehreren. 



') Haeckel, 1. c. Taf. I, Fig. 3. 



') Hertwig, 1. c. Fig. 88. 



) Haeckel, 1. c. Taf. 21, Fig. 4. 



") Haeckel, 1. c. Taf. I, Fig. I. 



4 ) Vgl. Th. Lipps, Raumasthetik und geom.-opt. Tau- 

 schungen (Schriften der Ges. fur psychol. Forschung 11. Samm- 

 lung, Leip/.ig 189397). 



