N. F. X. Nr. 1 6 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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Da aufier der Breite (f und der Deklination fi (am 

 kiirzesten und langsten Tag = der Ekliptikschiefe t) 

 aber durch die temporare Stunde auch der 

 Stundenwinkel s gegeben war, so liefi sich h aus 

 dem uns bereits gelatifigen Zenit-Pol-Sterndreieck 

 nach dem Kosinussatz berechnen : 



sin h = sin <f sin 6 -f- cos <p cos 6 cos s. 

 In dieser Gestalt kannten ihn aber weder Al- 

 Battani, noch spatere arabische Astronomen, 

 vielmehr zerlegten sie ein schiefwinkliges sphari- 

 sches Dreieck stets in 2 rechtwinklige; da- 

 gegen war ihnen der Sinussatz gelaufig. l ) War 

 so h gefunden, so mufiten die Schattenlangen 

 m = q-cotghvom Fuflpunkt des Gnomons unter 

 gewissen Winkeln zur Nordsiidlinie mittels des 

 schon erwahnten Lineals abgetragen werden. Diese 



Viel erortert bereits ist die Frage nach der 

 Natur der Kurven, welche vom Schatten des Stab- 

 endes taglich beschrieben werden. Sie lafit sich 

 ohne jeden mathematischen Formelapparat be- 

 antworten: Betrachten wir die Sonnendeklination 

 (50 fiir einen Tag als konstant, so ist die schein- 

 bare Sonnenbahn am Himmel ein Kleinkreis, 

 dessen Bogenabstand vom Himmelsaquator = <?Q 

 ist. Dieser Sonnenparallel lafit sich aber auch als 

 Grundflache eines Kegels deuten, dessen Spitze 

 mit derjenigen des Gnomons koinzidiert, und 

 dessen Mantellinien von samtlichen Sonnenstrahlen 

 gebildet werden, welche wahrend des Tages durch 

 das Stabende gehen. Die Gesamtheit der das 

 Stabende durchsetzenden Strahlen bildet eigent- 

 lich einen Doppelkegel, dessen zweiter, dem ersten 



nomon^ a- 

 12 Finger 



Fig. i. 



Winkel sind aber mit den Azimuten der Sonne 

 zu den betr. Stunden identisch. Zu ihrer Be- 

 rechnung aus cp , d und h gibt Al-Battani 

 (ohne Beweis"! die Regel : 



/r-sin(90 d) 



\ ^irTl 

 sin (90 ) = 



r o) sin n- sin (f \ 



</>) sin^go CD)/ 



. ) 



sin(90-h) 



welche fiir r = I und Einfiihrung der Kosinusse 

 sofort in den Kosinussatz der spharischen Tri- 

 gonometric iibergeht. Zur konstruktiven Fest- 

 legung der Azimute diente der eingeteilte Kreis 

 (Fig. i). 



Da also ein und dieselbe Rechenvorschrift oft- 

 mals auszufuhren war, so lag der Gedanke, eine 

 Kotangententabelle zu erstellen, sehr nahe. 

 Al-Battani mufl auch eine solche besessen 

 haben, da er in seinem Werke davon spricht, 

 wennschon sie nicht abgedruckt ist. 



') Dies folgt aus vielen Stellen arabischer Handschriften ; 

 vgl. auch den Nachweis von H. Suter: ,,Zur Trigonometrie 

 der Araber" (Bibl. math. (3) 10, pag. 156 160, 1910), wo- 

 nach ihn sicherlich schon der Lehrer Al-Berunis, Damlich 

 Abii Nasr ben Iraq () ca. looo 1020) gekannt hat. 



2 ) Vgl. hierzu: Opus astron., Cap. XI und v. Braun- 

 miihl a. a. O. pag. 33. 



kongruenter, Teil vom scheinbaren Horizont durch- 

 schnitten wird. Dieser Durchschnitt liefert die 

 Schattenlinie auf der horizontalen Platte, welche 

 somit ein Kegelschnitt ist. Im Augenblick 

 des Auf- und Untergangs der Sonne werden die 

 Schatten der irdischen Gegenstande unendlich 

 lang; die Kurve hat also in diesem Falle 2 un- 

 endlich feme Punkte, ist mithin in der ge- 

 mafiigten und heifien Zone stets eine Hy- 

 perbel. Nur die Mitternachtssonne vermag in 

 der kalten Zone Ellipsen als Schattenlinien 

 zu erzeugen. 



Wie schon erwahnt, wurden vom Astronomen 

 immer die 2 Hyperbeln, welche den beiden Wende- 

 kreisen entsprachen, zuerst aufgezeichnet. Dazu 

 kam das Projektionsbild des Aquators , welches 

 stets in eine Gerade -- die Ost-Westlinie -- aus- 

 artet, da der Schattenkegel fiir <$j = o in eine 

 Ebene iibergeht, die sich mit dem Horizont in 

 einer Geraden schneidet. Selten fanden sich auf 

 dem Zifferblatt noch weitere Hyperbeln, die irgend- 

 welchen anderen Tagen des Jahres entsprachen. 



Durch Verbindung der Punkte, in welche der 

 Schatten des Stabendes zu entsprechenden tem- 

 poraren Stunden auf den Hyperbeln fiel , ent- 

 standen die sog. Stundenlinien. Es ist zu er- 



