Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



N. F. XDC. Nr. 33 



Man weii3, dafi der Schwankungsbereich von dem 

 Umfang des Kollektivgegenstandes abhangt. Bren- 

 nen beispielsweise in einer Stadt von lOOOHausern 

 jahrlich 50 ab, so darf ich nicht ohne weiteres 

 schliefien, .dafl von 100 Hausern 5 abbrennen und 

 eins von 20. Sondern jeder weifi, dafi es ganz 

 auf die Auswahl dieser 20 ankommt und dafi die 

 Abweichung um so grofier ausfallen kann, je 

 kleiner die Zahl der betrachteten Gegenstande ist. 

 Diese Erkenntnis fafite man zu dem mystischen 

 ,,Gesetz der grofien Zahlen" zusammen. In alien 

 Lehrbiichern der Statistik prangt dieses Gesetz 

 an der Spitze. Fast in keinem findet man aber 

 eine Antwort auf die Frage: Wie grofi miissen 

 denn nun die Zahlen sein, damit Konstanz ver- 

 biirgt wird? Oder: Wie grofi sind die Abwei- 

 chungen, die man erwarten mufi, wenn der be- 

 trachtete Kollektivgegenstand den und den Um- 

 fang hat? Um diese Frage zu beantworten, soil 

 zunachst das Gesetz der grofien Zahlen in quanti- 

 tativer Form kurz abgeleitet werden. 



Wir wollen ausgehen von den Gliicksspielen, 

 bei denen das Gesetz zuerst aufgestellt worden 

 ist. Nehmen wir das einfache Spiel, mit einer 

 Miinze Kopf oder Wappen zu werfen. Die Wahr- 



scheinlichkeit, Kopf zu werfen ist , die, Wappen 



zu werfen ebenfalls -. Frage ich nach der Wahr- 



scheinlichkeit, in einer vorgeschriebenen Reihen- 

 folge unter n - Wiirfen a l mal Kopf und a 2 mal 

 Wappen zu werfen, so ist das Ergebnis 



I a, i a, j n 



(!) .(I) ,==(1). 



V V V 2' 



Sehe ich aber von der Reihenfolge ab, und ver- 

 lange nur, dafi a^ mal Kopf und a 2 mal Wappen 

 geworfen wird, so ist die Wahrscheinlichkeit ge- 

 geben durch den Ausdruck: 



Verallgemeinere ich dieses Ergebnis auf zwei Er- 

 eignisse E a und E 2 mit den voneinander ver- 

 schiedenen Wahrscheinlichkeiten Wj und w 2 , so 

 ergibt sich als Wahrscheinlichkeit dafur, dafi bei 

 einer n fachen Folge das eine a. s mal und das 

 andere a, mal vorkommt, 



nl 

 (0 w = , , .w/'-W'- 



di 1 * do I 



Bezeichne ich die Abweichung von den wahr- 

 scheinlichsten Zahlen nw, bzw. nw 2 mit x, so 

 ergibt sich: 



nl 



W ^= w ""' x w nw -'~* 



(nw,-f x)l -(nw 2 x)! 



Daraus ergibt sich: 



Ist n eine grofie Zahl und x klein gegen n, so 

 kann ich schreiben : 



nw., x 



w 



und 



\\\ 



nw 



W z dx nw,w.,' 



Integriere ich, so ergibt sich: 



x' 



(2) W r = k e 2nw ' w < , 



wo fur k die Gleichung gilt : 



^-4-00 *' 



kl I ^^ "" 



. I e 2DW,, . dx __ I 



t/ ~ 



Da nun 



| e 2 dz } 2 /T ist, so ergibt si 



k ] 2?rnw 1 w = 1, d. h. 

 1 



sich 



(3) 



= wo (/^= 



' 



Wird die Funktion der Gleichung (2) graphisch 

 dargestellt, so ergibt sich der in der Abbildung i 



dargestellte Verlauf. Auf der Abszissenachse sind 

 die Abweichungen von der Maximalzahl, auf der 

 Ordinatenachse die Wahrscheinlichkeiten aufge- 

 tragen. Die Kurve ist die bekannte Gaufische 

 Fehlerkurve, Glockenkurve, Zufallskurve oder nor- 

 male Variationskurve. Bestimme ich die mittlere 

 Abweichung, d. h. die Quadratwurzel aus der 

 Summe der Quadrate der Abweichungen, so er- 

 gibt sich der Wert ft der Gleichung (3). Sind 

 die Wahrscheinlichkeiten in Prozenten p, und p., 

 gegeben, und soil auch die mittlere Abweichung 

 in Prozenten angegeben werden, so ergibt sich 



(4) 



_ 1/Pl P2 



n ' 



Wx 



Mit Hilfe dieser Gleichung bin ich unmittelbar in 

 den Stand gesetzt, die oben gestellten Fragen zu 

 beantworten. Die mittlere Abweichung ist der 

 Wurzel aus dem Umfang des Materials n umge- 

 kehrt proportional. Fur jedes n lafit sich der 

 mittlere Fehler, der bei rein willkiirlicher Auswahl 

 sich ergibt, errechnen. Lasse ich die beiden Er- 

 eignisse mit den Wahrscheinlichkeiten p t und p 2 

 n-mal aufeinanderfolgen, so ist das haufigste Er- 

 eignis np x bzw. np 2 , wie die Figur zeigt in einer 

 ganz bestimmten Anzahl von Malen zu erwarten, 

 hohere Anzahlen von E t kommen in ganz be- 

 stimmter, durch die Figur angegebenen Weise vor, 



