N. F. XIX. Nr. 33 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



SIS 



ebenso niedrigere, die mittlere Abweichung gibt 

 Gleichung (3) bzw. (4). 



1st also beispielsweise aus einer Statistik, die 

 an 400 Sauglingen angestellt worden ist, festge- 

 stellt, dafi die Sauglingssterblichkeit p, == 10 Pro- 

 zent betragt, so ist die Gegenwahrscheinlichkeit 

 Pa = 9 Prozent, und es ergibt sich der mittlere 

 Fehler zu 



m = 



Wiirde dagegen der Umfang des Materials nur 

 100 betragen haben, so wiirde sich als mittlere 

 Abweichung 3 ergeben haben usw. Hatte ich 

 also bei dem ersten Material im nachsten Jahre 

 eine Abweichung von 1,5 Prozent erhalten, so 

 hatte ich daraus keinerlei Schliisse auf die zu- 

 nehmenden Krankheiten usw. ziehen diirfen. Unter 

 denselben Bedingungen wie im Vorjahre ware die 

 Abweichung allein aus der rein willkiirlichen Aus- 

 wahl der 400 Sauglinge als wahrscheinlichste Ab- 

 weichung erklarbar. Zu jedem statistischen Er- 

 gebnis gehort daher immer die Angabe des Ma- 

 terialumfangs und des mittleren Fehlers. 



Das soeben abgeleitete Gesetz, das das Ein- 

 treffen zufalliger Ereignisse quantitativ regelt, 

 bildet die Grundlage fur die mathematische Sta- 

 tistik und kehrt auch bei alien Anwendungen 

 wieder. Dafiir ein paar Beispiele: Zunachst das 

 Maxwellsche Geschwindigkeitsvertei- 

 lungsgesetz. Nehme ich in der Volumen- 

 einheit eines Gases die Molekiile am Anfang alle 

 als mit gleicher Geschwindigkeit behaftet an, so 

 werden nach kurzer Zeit durch die Zusammen- 

 stofie Unterschiede in den Geschwindigkeiten auf- 

 treten. Eine mittlere Geschwindigkeit wird am 

 haufigsten, grofiere und kleinere seltener vor- 

 kommen. Man wird von vornherein vermuten, 

 dafi das Verteilungsgesetz das GauSsche sein 

 wird. DaS das tatsachlich der Fall ist, geht aus 

 folgender Betrachtung hervor. 



Es soil die Zahl N der Molekiile in ihrer Ab- 

 hangigkeit von der Geschwindigkeit c bestimmt 

 werden. Sind x, y und z die Geschwindigkeits- 

 komponenten und machen wir die beiden Annah- 

 men, dafi jede Richtung gleich wahrscheinlich ist 

 und die Komponenten voneinander unabhangig 

 sind, so kann die Zahl N der Molekiile, deren 

 Geschwindigkeiten zwischen den Grenzen x und 

 x-j-dx, y und y -(- dy, z und z-j-dz liegen, an- 

 gegeben werden durch 



N = f(x) f(y) f(z) dx - dy dz. 

 Da die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Ge- 

 schwindigkeit nicht von der Richtung sondern nur 

 von der Grofie abhangig sein soil, so mufi N eine 

 Funktion von 



c 2 -= x 2 -]- y- + z 2 

 sein. 



Das ist der Fall, wenn 



f(x) = a e bx ' 

 gesetzt wird, wo a und b Konstante sind. 



Dann wird 



N = a e bc \ 



Dafi b negativ sein mufi, folgt ohne weiteres 

 daraus, dafi fur unendliches c die Zahl N unend- 

 lich klein sein mufi. Eine genaue Bestimmung 

 der Kongtanten aus den Grofien, die den Zustand 

 des Gases bestimmen, liefert: 



TT a 



a 2 

 wo = R.T (R ist die Gaskonstante, T die ab- 



solute Temperatur, n die Loschmidtsche Zahl). 

 Dasselbe Verteilungsgesetz ergibt sich, wenn ich 

 nach der Anzahl der Molekiile frage, die zu einer 

 gewissen Zeit sich in einem Raumelement be- 

 finden. Und noch auf eine andere Weise wird 

 man zu diesem Gesetz gefiihrt. Sind von den 

 n Molekiilen n x mit der Geschwindigkeit Cj be- 

 haftet, n 2 mit der Geschwindigkeit c., usw., so 

 kann eine und dieselbe Geschwindigkeitsverteilung 

 auf verschiedene Weisen verwirklicht werden, je 

 nachdem sich die einen oder die anderen Molekiile 

 in dem Zustand c t bzw. c 2 usw. befinden. Die 

 Wahrscheinlichkeit, dafi gerade diese Verteilung 

 eintritt, ist daher gegeben durch die Zahl, welche 

 angibt, wievielmal sich n Elemente so in Gruppen 

 verteilen lassen, dafi n t zur ersten Gruppe, n 2 

 zur zweiten usw. gehoren. Diese Zahl ist aber: 

 nl 



njvn,!... 



Fiihrt man in diesen Ausdruck fur die Fakultaten 

 nach der Stirling schen Nahrungsformel Exponen- 

 tialgrofien ein, so lafit sich der wahrscheinlichste 

 Zustand ermitteln. Andererseits wird man, wenn 

 die Wahrscheinlichkeit der Verteilung mit W be- 

 zeichnet wird, zu der Beziehung gefuhrt 

 (6) S=k.lgW+A, 



wo S die Entropie bedeutet und k und A Kon- 

 stante sind, die durch die Gasgrofien zu bestimmen" 

 sind. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 

 ist in dieser Darstellung lediglich eine Verallge- 

 meinerung des Gaufi-Maxwellschen Problems, 

 und die Vermehrung der Entropie sagt weiter 

 nichts, als dafi das Gas in einen Zustand von 

 wahrscheinlicherer Verteilung iibergeht. 



Noch an eihem anderen Beispiel soil das Fehler- 

 gesetz gewissermafien greif bar dargestellt werden. 

 Das Gallon sche Brett ist in der Abb. 2 dar- 



_ \ L _ 



Abb. 2. 



