Naturiissenscliaftliclie Rundschau. 



Wöchentliche Berichte 



über die 



Eortschritte auf dem G-esammtgebiete der laturwissenscliafteii. 



Xni. Jahrg. 



13. August 1898. 



Nr. 33. 



Ueber die Stabilität des Sonnensystems. 



Von H. Poincare. 



(Aus dem Annuaire du Bureau des Longitudes. 1898.) 



Diejenigen , welche sich für den Fortschritt der 

 Himmelsmechanik interessiren, demselben jedoch nur 

 aus der Ferne folgen können, müssen einiges Er- 

 staunen empfinden, wenn sie sehen, wievielmal 

 man die Stabilität des Sonnensystems bewiesen hat. 

 Lagrange hat sie zuerst festgestellt, Poisson 

 hat sie von neuem bewiesen. Andere Beweise sind 

 sodann gekommen, und weitere werden noch kommen. 

 Waren die alten Beweise ungenügend , oder sind die 

 neuen überflüssig V 



Das Erstaunen dieser Personen würde sich zweifel- 

 los verdoppeln, wenn man ihnen sagte, dars vielleicht 

 eines Tages ein Mathematiker durch strenge Beweise 

 zeigen wird, dafs das Planetensystem nicht stabil 

 sei. Dies kann aber eintreten, und hierin wird kein 

 Widerspruch liegen; gleichwohl werden die alten Be- 

 weise ihren Werth behalten. 



Die Beweise sind in der That nur successive An- 

 näherungen, d. h. sie beanspruchen nicht die Ele- 

 mente der Bahnen streng zwischen enge Grenzen 

 einzuschlielsen , die dieselben niemals überschreiten 

 werden, sondern sie lehren uns nur, dafs bestimmte 

 Ursachen, welche anfangs diese Elemente ziemlich 

 schnell variiren lielsen, gegenwärtig nur viel lang- 

 samere Variationen erzeugen. 



Die Anziehung Jupiters ist bei gleichem Abstände 

 tausendmal kleiner als die der Sonne; seine störende 

 Kraft ist daher klein , und dennoch würde sie , stets 

 in demselben Sinne thätig, schlietslich sehr merk- 

 liche Wirkungen hervorbringen. Dem ist jedoch nicht 

 so; und dies ist der Punkt, den Lagrange fest- 

 gestellt hat. Nach einer kleinen Reihe von Jahren 

 haben zwei Planeten, die auf einander wirken, in 

 ihren Bahnen alle möglichen Stellungen eingenommen; 

 in diesen verschiedenen Stellungen war ihre gegen- 

 seitige Beeinflussung bald nach der einen, bald nach 

 der entgegengesetzten Richtung thätig und zwar 

 derart, dafs nach kurzer Zeit fast exaote Compensa- 

 tion eintritt. Die grofen Axen der Bahnen sind nicht 

 absolut unveränderlich, aber ihre Aenderungen redu- 

 ciren sich auf OscUlationen geringer Amplitude nach 

 beiden Seiten ihres Mittelwerthes. 



Dieser Mittelwerth ist freilich nicht streng teai, 

 aber die Aenderungen , die er erleidet , sind äutserst 

 langsame, wie wenn die Kraft, die sie hervorbrachte, 



nicht tausendmal, sondern millionenmal kleiner als 

 die Anziehung der Sonne wäre. Man darf daher 

 diese Aenderungen vernachlässigen, da sie, 

 wie man sagt, von der Ordnung des Quadrates der 

 Massen sind. 



Was die anderen Elemente der Bahnen betrifft, 

 wie die Excentricitäten und die Neigungen, so können 

 sie um ihre Mittelwerthe weitere und langsamere 

 Schwankungen erleiden, denen man aber die Grenzen 

 leicht anweisen kann. 



Dies haben Lagrange und Laplace gethan; 

 aber Poisson ging weiter. Er hat die langsamen 

 Aenderungen studiren wollen , welche die Mittel- 

 werthe erleiden , die Aenderungen , von denen ich 

 oben schon gesprochen , und welche seine Vorgänger 

 zunächst vernachlässigt haben. Er zeigte, dals diese 

 Aenderungen sich abermals auf periodische Schwan- 

 kungen um einen Mittelwerth reduciren, der nur 

 noch tausendmal langsamere Variationen erleidet. 



Dies war ein Schritt vorwärts, aber es war aber- 

 mals nur eine Annäherung; seitdem hat man weitere 

 Schritte vorwärts gemacht, ohne zu einem vollstän- 

 digen, definitiven und strengen Beweise zu gelangen. 



Es giebt einen Fall, welcher der Analyse von 

 Lagrange und von Poisson nicht zu unterliegen 

 scheint. Wenn zwei mittlere Bewegungen unter ein- 

 ander commensurabel sind, so werden nach einer ge- 

 wissen Reihe von Umläufen die beiden Planeten und 

 die Sonne sich in derselben relativen Lage befinden 

 und die störende Kraft wird in demselben Sinne 

 wirken wie anfangs. Die Compensation, von der ich 

 oben gesprochen , tritt dann nicht ein und man muls 

 befürchten, dafs die Wirkungen der Störungen sich 

 schliefslich anhäufen und beträchtlich werden. Neuere 

 Arbeiten, unter anderen die von Delaunay, von 

 Tisserand und von Gylden zeigten jedoch , dafs 

 eine solche Anhäufung nicht eintritt. Die Amplitude 

 der Schwankungen wird ein wenig grötser, aber sie 

 bleibt gleichwohl sehr klein. Dieser besondere Fall 

 entzieht sich somit nicht der allgemeinen Regel. 



Man hat nicht nur diese scheinbaren Ausnahmen 

 beseitigt, sondern man hat sich auch besser Rechen- 

 schaft gegeben von den wahren Ursachen dieser Com- 

 pensationen, welche die Begründer der Himmels- 

 mechanik bemerkt hatten. Man trieb die Annäherung 

 weiter als Poisson, aber man ist doch noch immer 

 bei einer Annäherung. 



Man kann für bestimmte, besondere Fälle be- 



