Nr. 45. 



Naturwissenschaftliclie Rundschau. XIII. Jahrgang. 1898. 



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gangspunkt die ganz scharfe Erfassung des Zahlbegrififes 

 dienen, so sei er der Ansicht, mit dieser Schärfe der be- 

 grifflichen Auffassung müsse man nicht anfangen, sondern 

 aufhören. Ueberhaupt sei Pringsheim nicht berechtigt, 

 seinen Lehrgang als den allein zum Ziele führenden an- 

 zusehen, er (Klein) sehe es eher anders an. Jedenfalls 

 sei aber der theoretischen, auf die strenge Begriffs- 

 bestimmung der Arithmetik basirende Behandlung 

 auch eine von der Anschauung ausgehende Behand- 

 lung gleichberechtigt. Wie viel man auf diesem Wege 

 auch bei einem weniger gut vorgebildeten Schüler- 

 materiale erreichen könne, zeige u. A. Perrys Cal- 

 culus for Engineers und Voroneses Leitfaden der 

 Elementarmathematik , welche beiden Bücher der Vor- 

 sitzende circuliren liefs. Leider nehmen wir in Deutsch- 

 land zu wenig Notiz von den Fortschritten des Fach- 

 nnten-ichtes im Auslande. Besonders wolle er auch darauf 

 hinweisen , wie wünschenswerth es sei , wenn bei der 

 Neugestaltung der Prüfungsordnung für die Candidaten 

 des Lehramtes in der Mathematik auch eine besondere 

 Prüfung und Erweiterung der Lehrfähigkeit in den An- 

 wendungen der Mathematik geschaffen werde, diese 

 Lehrbefähigung dürfe allerdings nur im Anachlufs an 

 die volle Lehrbefähigung in der reinen Mathematik er- 

 theilt werden 1). 



Diesem mit grofsem Beifall aufgenommenen Vortrag 

 folgte eine lebhafte Debatte, in der zunächst Herr Prings- 

 heim seinen Standpunkt verteidigte, der übrigens nicht 

 so einseitig sei, wie Herr K. ihn auffasse. Herr Lampe 

 wollte in den Klein sehen Ausführungen eine abfällige 

 Kritik des auf den technischen Hochschulen ertheilten 

 mathematischen Unterrichts erblicken , wogegen sich 

 Herr Klein nachdrücklich verwahrte. Er erkannte an, 

 dafs Herr Lampe nach seinen von ihm selbst gegebenen 

 Mittheilungen den von ihm (Klein) aufgestellten Forde- 

 rungen gerecht werde. Die anderen Redner stellten sich 

 mit gröfserer oder geringerer Entschiedenheit auf die 

 Seite des Herrn Klein, so HeiT Franz Meyer, der im 

 Uebrigen auf den von ihm für diese selbe Sitzung ange- 

 kündigten Vortrag „Zur Oekonomie des Denkens in der 

 Elementarmathematik" verzichtet und Herr Maurer 

 (Düsseldorf), der namentlich auch die von Herrn Klein 

 für die Neugestaltung der Prüfungsordnung gegebene An- 

 regung mit Freuden begrüfste. Diese werde Anlafs geben, 

 nicht mehr von den Mathematikern den Erwerb von einer 

 Nebenlehrbefähigung in den beschreibenden Naturwissen- 

 schaften zu fordern, in denen ein erspriefslicher Unter- 

 richt doch nur von eigentlichen Vertretern dieser Fächer 

 ertheilt werden könne. Herr Peters (Berlin) dankte Herrn 

 Klein im Namen der Ingenieure, denen seine Ausfüh- 

 rungen durchaus aus der Seele gesprochen seien. 



Dann folgte ein kurzer Vortrag des Herrn Schotten 

 (Halle), der mittheilte, dafs er die Vorlesungsverzeich- 

 nisse der Universität Halle in den exacteu Fächern zwei- 

 hundert Jahre zurückverfolgt habe. Unter Anführung 

 einiger interessanter Einzelheiten, die ihm dabei auf- 

 gestofsen waren , befürwortete er eine Berücksichtigung 

 der geschichtlichen Entwickelung unseres exacten , ins- 

 besondere des mathematischen Wissens im Unterricht. 

 Die Ausführungen des Redners fanden in der kurzen, 

 daran anschliefsenden Debatte mehrseitige Zustimmung. 

 An dritterstelle sprach Herr Pietzker (Nordhausen) 

 „über die Behandlung des Imaginären im Unter- 

 richt der höheren Schulen". Er knüpfte an die Be- 

 stimmung der neuen Lehrpläne an, die im Pensum derUI 

 „die imaginären Gröfsen" aufführen, eine nähere Erläute- 

 rung hierzu aber fehle, doch sei die Bestimmung wohl so 

 aufzufassen, dafs man versuchen solle, in das Wesen des 

 Imaginären, das ja schon auf früherer Stufe gelegentlich 

 auftrete, einen systematischen Einblick zu vermitteln. Er 

 hat dies auch wiederholt in der Weise gethan, dafs er den 

 Schülern, übrigens aber der Ol, die Gauss sehe Darstellung 



1) Dieser Wunsch ist in der neuen Piut'ungsordnung erfüHt. 



der complexen Gröfsen in einer Ebene vorgetragen habe, 

 sie hätten sich dann auch ganz gut hinein gefunden ; aber 

 zu einem wirklichen Eindringen in das Wesen des Imagi- 

 nären sei diese Darstellung doch nicht geeignet, da sie 

 von den Schülern zu äufserlich erfasst werde, auch leide 

 sie au dem Fehler, dafs sie mit der Rolle, die das Imagi- 

 näre im übrigen innerhalb des Schulpensums spiele, zu 

 wenig in Zusammenhang zu bringen sei, wenigstens für 

 das Schülerverständnifs. Das Imaginäre spiele zunächst 

 die Rolle, den algebraischen Ausdruck der Unmöglich- 

 keit für eingekleidete Aufgaben abzugeben. Hiermit sei 

 nun eine Deutung in einen gewissen Zusammenhang zu 

 bringen , die von D ü h r i n g herrühre und die er (der 

 Redner) in von ihm etwas veränderter Form neuerdings 

 versucht hat, in der Schule namentlich an einer Stelle 

 zu verwenden, wo es wünschenswerth sei, die Schüler 

 über eine blofs äufserliche Auffassung der Dinge zu er- 

 heben. Das sei das Auftreten der imaginären Punkte 

 bei Aufgaben der analytischen Geometrie. Hier werde 

 von Du bring das Imaginär werden der Lösung, z.B. die 

 imaginären Werthe für die Schnittpunktscoordinaten 

 zweier Curven dahin gedeutet, dafs an Stelle der eigent- 

 lichen Aufgabe eine mit ihr eng zusammenhängende 

 andere Seite, bei der die Lösungen reell und von den 

 imaginären Lösungen nur durch den Fortfall des Factors 

 \ — 1 unterschieden seien. Er illustrirte die von ihm 

 gegebene Behandlung durch einige Beispiele , hob her- 

 vor, dafs die Schüler sich leicht hineinfänden und be- 

 tonte ferner, dafs diese Behandlung keiner anderen Auf- 

 fassung des Imaginären hinderlich sei. Dühring, der 

 sie für die allein seligmachende erkläre, sei im Unrecht ; 

 bei jeder Art der Auflassung des Imaginären sei etwas 

 Subjectives dabei. Sie habe den Vortheil, den Schülern 

 Gelegenheit zu geben, sich bei der imaginären Gröfse 

 überhaupt etwas Sachliches zu denken, ferner trete bei 

 ihr der Charakter der imaginären Gröfsen als relative 

 Gröfsen sehr hervor, das werde sonst leicht übersehen. 



An diesen Vortrag knüpfte sich eine kurze Discus- 

 sion, in der die Ansichten des Redners nur von einer Seite 

 eine bedingte Zustimmung erfuhren, von anderer Seite 

 wurde die von ihm mitgetheilte Behandlung des Imagi- 

 nären lebhaft bekämpft, ganz besonders von Herrn 

 Lampe. 



Um ßVa Uhr schlofs der Vorsitzende die Sitzung, 

 indem er über die vielfachen Anregungen, die die Ver- 

 handlungen der beiden Abtheilungen in den vergangenen 

 Tagen geboten hätten, seine hohe Befriedigung aussprach. 



Ueberblickt man die Wirksamkeit und Thätigkeit 

 der Section , so ist zunächst hervorzuheben , dafs einige 

 Vorträge , die mit den behandelten Fragen in naher Be- 

 rührung standen, wegen Behinderung der Vortragenden 

 nicht zur Erledigung kommen konnten (z. B. Pabst: 

 Handfertigkeit im Dienste des physikalischen 

 Unterrichts, Anhang II und Schwalbe: Schul- und 

 Hochschulunterricht). (Der Vortragende war am 

 Donnerstag ebenfalls behindert.) 



Die Veröffentlichung der Abhandlung mit Hinzu- 

 fügung von Beispielen aus der Methodik des Schul- und 

 Universitätsunterrichts, sowie einiger Vorschläge, be- 

 treffend die Abgrenzung der einzelnen Gebiete und der 

 theilweispn Beseitigung des voraussetzungslosen Unter- 

 richtes an Hochschulen ist in Aussicht genommen und 

 wird demnächst gesondert erscheinen. 



Die Lehrerüberbürdung hätte in der Behandlung der 

 Einrichtung der Feriencurse insofern einen correlateu 

 Gegenstand gefunden , als wohl mit Recht behauptet 

 werden kann, dafs diese Einrichtung vom Lehrerstande 

 allgemein freudig begrüfst worden ist und die Lehrer 

 immer noch bereit sind, Arbeit im idealen Interesse der 

 Schüler zu leisten. Doch kam auch der angekündigte 

 Vortrag „über Feriencurse" nicht zur Erledigung, da 

 der Vortragende verhindert war. Bei dem Thema 

 Schul- und Hochschulunterricht wäre die Abzweigung 



