Nr. 10. 1908. 



Naturwissenschaftliche Rundschau. 



XXIII. Jahrg. 127 



d. van Iterson juii.: Mathematische uiid mikro- 

 skopisch-anatomische Studien über Blatt- 

 stellungen nebst Betrachtungen über den 

 Schalenbau der Miliolinen. 331 S., 16 Tafeln, 

 110 Textfiguren 20 M- (Jena 1907, Gustav Fischer.) 

 Die zunächst völlig unabhängig von den botanischen 

 Studien aufgestellten mathematischen Überlegungen, 

 die den ersten Teil dieses Werkes (S. 1 — 194) ausmachen, 

 wollen wir versuchen nach der „Rekapitulation" in Kürze 

 wiederzugeben, dabei aber mehr die gestellten Aufgaben 

 und die Betrachtungsweise als die ausführliche Art der 

 Lösungen hervorheben, für die auf das Original verwiesen 

 werden muß. 



Es handelt sich im Ausgaugsproblem um Punkt- 

 systeme auf einer Kreiszylinderfläche, einer Ebene und 

 einer Kreiskegelfläche von der Art, daß die Strahlen- 

 büschel, die man durch Verbindung verschiedener Punkte 

 des Systems mit allen anderen erhält, entweder kon- 

 gruent (Kreiszylinderfläche) oder ähnlich sind (Ebene, 

 Kreiskegelfläche). Diese „regelmäßigen" bzw. „ähnlichen" 

 Punktsysteme haben die Eigenschaft, daß darin unend- 

 liche Reihen Punkte auf gewissen Kurven (Spiralen) 

 liegen. Und dabei gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder 

 können alle Punkte in einer einzigen Spirale aufgenom- 

 men werden (einfache Systeme, Hauptspirale) oder es sind 

 mehrere parallele Spiralen nötig (mehrfache Systeme). 



Ein einfaches Punktsystem auf einer Kreiszyliuder- 

 fläche wird bestimmt durch die Divergenz a der Punkte 

 in der Hauptspirale und die Steighöhe h dieser Spirale. 

 Bei den einfachen Punktsystemen auf einer Ebene oder 

 Kreiskegelfläche tritt als bestimmender Faktor an die Stelle 

 der Steighöhe das konstante Verhältnis a, das zwischen 

 den Leitstrahlen nach den aufeinander folgenden Punkten 

 der Hauptspirale besteht („Hauptverhältnis"). Es lassen 

 sich bei jedem Wert von u unendlich viele für h oder a 

 angeben, mit denen solche Punktsysteme aufgebaut werden 

 können. Bestimmte Fälle hiervon werden ausgewählt auf 

 Grund folgender Betrachtung: 



Mau denke sich um die Punkte eines regelmäßigen 

 oder ähnlichen Punktsystems unendlich kleine Kreise auf 

 den respektiven Flächen beschrieben, denke sie sich, 

 immer unter Wahrung der Kreisgestalt, wachsend, bei 

 der Zylinderfläche alle gleich schnell, in den anderen 

 beiden Fällen so, daß sich die Radien in jedem Augen- 

 blick wie die Leitstrahlen verhalten, die vom Zentrum 

 oder Kegelscheitel aus nach den Punkten gehen. Danu 

 kommt ein Moment, in dem der Kreis um Punkt u einen 

 anderen berührt, z. B. den um m. Ebenso berührt aber 

 jetzt dieser den Kreis um 2m, dieser den um 3m usw. 

 und der um 1 den um (1 -)- m). Ein solches Kreissystem 

 heißt, eines mit »(-zeiligen Kontaktspiralen. 



Findet gleichzeitig Berührung des Kreises um o mit 

 den Kreisen um vi und n statt, so wird jeder Kreis von 

 vier anderen berührt (zweizähliger Kontakt m und n). 

 Da sich nachweisen läßt, daß für einen gewissen Wert et 

 nur ein solcher von h bzw. a zu finden ist, für den ein 

 Kontakt m und n besteht, so muß für alle Fälle, in denen 

 der Kontakt verwirklicht ist, eine gewisse Beziehung 

 zwischen « und h oder « und a anzugeben sein. Für die 

 Fälle Ebene und Kegelfläche wurde diese Beziehung in 

 einer Gleichung dargestellt, für die Kreiskonstruktion auf 

 der Zylinderfläche dagegen wurde statt der Beziehung et 

 zu //, eine zwischen « und b gewählt (b = Verhältnis des 

 konstanten Kreisdurchmessers einer Kreiskonstruktion zu 

 dem Umfang der Zylinderfläche, „relativer Kreisdurch- 

 messer"). Für bestimmte Werte von b und a hat Herr 

 van Iterson auf Tafeln graphische Darstellungen der 

 Kreissysteme gegeben, ebenso für die vorerwähnten 

 Systeme auf der Ebene und Kegelfläche. Im letzteren 

 Falle ist aber die Beziehung von a und u abhängig vom 

 Scheitelwinkel der Kegelfläche. 



Sind bei einer Kegelfläche und einem Kuntakt die 

 Werte a und u zusammen bekannt, so läßt sich unter 

 Projektion auf eine rechtwinkelig zur Kegelachse stehende 



Ebene die Konstruktion der Kreise auf einer abgerollten 

 Kreiskegelfläche ausführen; bei dieser Projektion geht ein 

 Kreis auf der Kegelfläche in eine Kurve (sog. Folioide) 

 über, das System von Kreisen wird zu einem von Folioiden 

 mit den gleichen Kontakten. Auf anderen Kegelflächen 

 konstruierte Systeme erhalten anders gestaltete Folioide. 

 Die entsprechenden Konstruktionen gelten als Hauptresultat 

 der mathematischen Studien. Ebenso die der verschiede- 

 nen Systeme, die, wie die graphische Darstellung lehrt, 

 mit ein und dem selben Wert von b oder « möglich sind. 



Als Grundlage für die botanischen Studien, die 

 den zweiten Teil (S. 195—299) bilden, wird die Auf- 

 gabe, welche eine Theorie der Blattstellungen zu lösen 

 hat, dahin formuliert, „die Zahlengesetze, welche die 

 Blatt Stellungsverhältnisse aufweisen, als die mechanisch 

 notwendige Folge bestimmter einfacher Beobachtungs- 

 tatsachen zu erklären". Besonders muß dabei das viel- 

 fache Auftreten der Blattstellungen aus der Hauptreihe 

 seine Erklärung finden '). Da aber die Gesetze der Zell- 

 teilung und ihre Ursachen und vieles andere noch un- 

 bekannt sind, so wird die Aufgabe zunächst dahin ver- 

 einfacht, „die beschriebenen zahlenmäßigen Eigentümlich- 

 keiten der Blattstellungen aus bestimmten kontrollierbaren 

 Beobachtungstatsachen zu erklären". Die Beobachtungen 

 beziehen sich natürlich vorzugsweise auf den Vegetations- 

 scheitel, weil dort die Anlage der Organe und ihre gesetz- 

 mäßige Anordnung stattfindet. Es sind zu trennen die 

 einfache, konstant bleibende Blattstellung von dem späteren 

 Zustandekommen einer anderen als der am Scheitel vor- 

 handenen Stellung (veränderliche Blattstellung). 



Auf der Beobachtung des jungen Scheitels mit seinen 

 Blattanlagen baut der Verf. die Hypothese auf, welche 

 die wichtige Verknüpfung mit den mathematischen Studien 

 gibt: Die Umrißlinien der Ansatzstellen der jungen An- 

 lagen sind im allgemeinen als Kreise auf einer Kreis- 

 kegelfläche zu betrachten. Die Querschnitte der Organe 

 und die Ansicht von oben erscheinen dann als Kurven, 

 die Folioide genannt werden (s. o.). 



Aus der Beobachtung, daß bei konstanter Stellung 

 jedes Blatt annähernd zu allen anderen übereinstimmend 

 steht und je zwei andere ältere berührt, folgt: 



Die Umrißlinien bilden bei konstanter Blattstellung 

 annähernd ein ähnliches System tangierender Kreise auf 

 einer Kreiskegelfläche. Die Querschnitte stellen dann ein 

 System von Folioiden dar. Hierfür werden häufige Blatt- 

 stellungen als Beispiele angeführt (zweireihige mit 

 Kontakt 1 und 1, ferner mit 1 uud 2 und 2 und 3). Ab- 

 weichung hiervon an älteren Teilen erklärt sich da- 

 durch, daß der Teil des Scheitels, auf dem sie stehen, 

 einer anderen Kegelfläche angehört, sowie daß der rela- 

 tive Durchmesser der Blätter sich ändern und die Form 

 der Querschnitte von der der Folioide abweichen kann. 



Daß bei konstanter Stellung am obersten Teil die 

 Fälle mit rechtwinkeligem Kontakt bevorzugt sind, 

 wird vom Verf. auf mechanische Gründe unter Be- 

 nutzung des Umstandes zurückgeführt, daß bei recht- 

 winkeligen Kontaktsystemen die freie Oberfläche zwischen 

 den Anlagen eine maximale Größe besitzt, also eine Art 

 Gleichgewichtslage auftritt. 



Auch die Fortsetzung ein und derselben Stellung er- 

 klärt Herr van Iterson mechanisch aus den Beobach- 

 tungen, daß für die neuen Anlagen der relative Durch- 

 messer der Ansatzstelle (Faktor 6, s. o.) der gleiche bleibt, 

 daß sich die Anlagen im Kontakt mit mindestens zwei 

 älteren befinden und in den größeren Lücken zwischen 

 den vorhandenen angelegt sind. 



Dagegen schließt der Verfasser Verschiebungen der 



') Eine Blattstellung läßt sich durch einen Bruch aus- 

 drücken, dessen Zähler angibt, wie oft man den Stengel umläuft, 

 um von einem Blatt zu dem nächsten gerade über ihm stehen- 

 den zu kommen, dessen Nenner aber die Zahl der dabei ge- 

 troffenen Blätter angibt. Häufig sich findende Blattstellungen 

 sind die Glieder der Reihe: %, '/„, 7 5 , Ya i Vis usw., die auch 

 Hauptreihe heißt. 



