68 BOLETIN DE LA REAL SOC1EDAD ESPANOLA 



La identidad del indice de altura con la formula 



seno B x seno P 



senoN 



permite calcular aquel sin construir el triangulo, si hemos hallado 

 por trigonometrfa los angulos; pero puede convenir en algunos ca- 

 sos calcular el indice sin haber calculado los angulos. Para tal caso 

 podemos utilizar la formula trigonometrica del area 



S 2 = ^- =p(p - a) (p - b} (p - c), 



en que la h es la altura sobre el lado a y p es el semiperfmetro. 



' De esta formula se puede deducir el valor de h en funcion de p, 

 a, by c. 



Si en vez de a, b y c ponemos los lados del triangulo facial 

 PB, PN y NB, y llamamos P al perimetro, podemos transformar la 

 formula de manera que nos de: 



h V>(P 2.PB) (P 2.PN) (P 2.NB) 



PB 2.PB S 



que resuelve el problema con facilidad mediante logaritmos. Ello 

 me ha llevado a descubrir un error de calculo en mi Memoria por 

 lo que se refiere a los craneos masculines de Mogador, segundo 

 tipo: su indice de altura no es 70,9, sino 67,1; este ultimo valor es 

 causado por un error en el calculo de los angulos; el angulo N 

 noes 65 18', sino 67 18', y el angulo B no es 42 36', sino 40 36'. 

 Quedan, por tanto, estos craneos mucho mas lejanos de los vascos 

 de como aparecen en las figuras 6. a y 7. a , viniendo a coincidir con 

 los de San Juan de Luz. 



Indicaba en la Memoria (pag. 393) (35) que desde 66,0 para arri- 

 ba todos los promedios se refieren a razas boreales, y que las razas 

 australes quedan todas en los indices de 64,0 para abajo. Ademas 

 de hacer la salvedad de que con estas ultimas quedan los ainos, los 

 cuales geograficamente no son australes, como tampoco lo son los 

 dos craneos prehistoricos de Francia citados, es de advertir que los 

 dravidas y singaleses, weddas y birmanes habitan algunos grades 

 al Norte del Ecuador. Tambien conviene hacer la salvedad de que 

 muy probablemente no corresponderian a este tipo austral de trian- 

 gulo facial las razas americanas y polinesias. 



La gran amplitud de variacion de este indice, que en los craneos 



