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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



N. F. II. Mr. 1 7 



Der Ausdruck kehrt noch deutlicher, und zwar im Sinne 

 des Resultates elner Addition mit Rechensteinchen, bei 

 Theophrast *i iv--287), dem Schiller des Aristoteles 

 i und Schopfer der Botanik), \vieder. Auch der Spotter 

 Lvician **) (geb. -)- 125) wendet dasselbe Wort auf die 

 Addition gleicher Summanden, also die Multiplikation, an. 

 Von cliesem Substantivum .Kopfende' bildeten die Griechen 

 auch tin Yerbum mit der Bedeutung ,addieren', dessen 

 WortMim also genau der Grundbedeutung des Verbums 

 .summiercn' entspricht. Auch dieses Wort ist zu alien 

 Zeiten gebrauchlich. So ,summiert' die Redlining (d. h. 

 schliesst sie durcli Ausrechnung des Kopfendes ab) der 

 attische Redner Aeschines***) ( 330), der Gegner des 

 grossen Demosthenes. So .summiert' (d. h. bildet die Summe 

 einer Reihe von) Stadien der griechische Geograph Strabo 

 (_|_ 20). Und der spatgriechische Biograph (-(- 500; des 

 bekannten Fabeldichters Aesop lasst diesen antiken Till 

 Eulenspiegel zu seinem Herrn sagen : ,Wenn du bis zur 

 entsprechenden Grosse (Hohe?) addierst und wieder sub- 

 trahierst und die Summe ziehst (das Resultat berechnest), 

 so giebt's keinen Fehler'. Hier scheint ein deutlicher 

 Hinweis auf die Rechenbretter (,bis zur entsprechenden 

 Hohe') und die Schulsprache (,da giebt's keinen Fehler') 

 der Jugend vorzuliegen. Ausdriicklich bestatigt endlich 

 wird der Scliluss, den der Ausdruck , Kopfende' der Rech- 

 nung uns ziehen heisst, durch den griechischen Monch 

 Maximus Planudes (urn -\- 1333), der in seinem Rechen- 

 buchef) die Operation der Addition so schreibt, dass die 

 Summe iiber den Summanden steht. --2. Bei den Ro- 

 me r n heisst ,subtrahieren' deminuere, denier e, dctralicrc, 

 dcducere. In all diesen Verben steckt die Proposition de 

 ,herab'. Man vermutet also, dass die entgegengesetzte 

 Operation ein sub ,von unten' oder ,hinauf' gewesen sei. 

 So heisst denn auch ,die Summe ziehen' siiimnain subdn- 

 cere. Man kann alle diese Ausdrucke durch die ganze 

 Litteraturff) der Romer verfolgen. Will Plautus (f 184) 

 von einer Anzahl Mark ein paar Groschen .fortnehmen' 

 lassen, so sagt er deminuere. Das Wort dcincre gebraucht 

 Varro (f 27), wenn er von den 12 Unzen eines Pfundes 

 cine Unze ,abzieht'. Wenn Cicero (f 43) von einer 

 ganzen Summe 2 Fiinfzigstel .subtrahieren' will, so wendet 

 er das Wort detrahere an. Hiess es nach Livius ( 27) 

 in den bekannten Licinischen Gesetzen ( 367), es sollten 

 von einem geschuldeten Kapital die bereits bezahlten 

 Zinsen abgezogen werden, so steht bei Livius, vermutlich 

 schon bei Licinius, das Verbum dcduccre. Soil umgekehrt 

 das Resultaf einer Addition festgestellt, also die Summe ,ge- 

 zogen' werden, so bedient sich Cicero des Kompositumsftt) 

 subdiicere. Dasselbe Verbum gebraucht derselbe Autor 

 auch mit dem Objekt calculos, zum Beweis dafiir, dass 



*) Theophr. Charact. 14, I : o dvaiodijros (der Stumpfsinnige) TOIOVTO, 

 Tif. a'ifif /.;. ladiifioa- (rechnend) run viyo/s 1 (Steinchen) y.iti y.ttfdt.itio r 

 Tivn^tti-^ fotuTtti' Tor naoayit'triitt'oi' (danebensitzenden)' ,r/ yiveTcu 1 ', 

 (was kommt herausri. Ebcnso 24,3: Aoyi^oitevos TT^OS rn i u (o r.Tto/;- 

 yitrt^ der Hochmiitige) no Traitii tit I'TK^I 7>i* i/'/;yoz'? SiOJ&Efv (schnell 

 schieben) xiti y. ydhaiov 7Toit;aam yodyai avno tr$ Koyov (auf die 

 Redlining). 



**) Lucian Hermot. 48: ffuoa oi't 1 ravrn ort'Tt&trra (addiert) t' 

 xiya/.itiio (in summa) yii'nir' r : 



***) Aeschines in Ctesiph. 59: bteidav i'i ioyta/ios avyxeyaiai- 

 <3'l. Strabo p. 91: iMirt r/,/- ovfiTtaaav (oSov) y.e<faj.atoi<o9'iii 

 lvaxtsxifaa>t> i^nxooimi' [oraSicov). Vita Aesopi cp. 1 1 : tu ix ^yoatH- 

 ifti'i* TE y.fli atf aiototfos 6/ -To y.ftrn ).6yov TTOOur o v , y. y a / a i o i - 

 fitvov o'i'x ianr iiitapT^urt. Ein Dichter gebraucht dafur auch einmal 

 das Wort xu<irymV (v. xogi-yrj Spilze). Wie sich Pyramiden zu einem 

 Punktc .zuspitzen* (ii~ tun'it^n xopvyovofrat Janiblichos), so die Summan- 

 den zur Summe (xogvyovjievos "- /' ^i!lin>- Griech. Anthologie). 



j") Titel : y'tjtfoffopia y.itT 1 'TvSovs i; htyo/ui-i, //.'-"/./. 

 ff) Plautus: ottt/iinuere de mina itna quinqut numnios. Varro: itudi 

 1= tit assf) ni:u iincia iltniptu ii'cini.r (Jit)- Cicero: Hetrahtre de tola 

 Mtmv/it Huns quinguagcsimas, Livius: dt acre aliens deduct* eo, ijiioil 

 iisuris ferininifratum esset. 



ttt) C' Cl ad Alt. V 21,11: sitbdtifamits sitmutam. 



man auch die Rechensteinchen ,nach oben zog', wie die 

 Griechen ,die Summe h in au fzogen'. *) 



Erwiesen wird die angegebene Erklarung durch 

 ein kleines Ueberbleibsel der antiken Schreibweise, nam- 

 lich unsere Art, ein Subtraktionsexempel zu schreiben. 

 Man setzt den Minuendus imi oben hin, den Subtrahendus 

 (s) darunter, die Differenz id) unter beide. Liest man 

 diese Reihe von unten nach oben, so erhalt m;;n das 

 Additionsexempel d -f s = m, in der antiken Form ge- 

 schrieben. Es gehorten zu dieser Manier Rechenbretter, 

 in denen man die Steinchen auf senkrechten Linien schob. 

 So erschloss sie aus der Ueberlieferung schon Cantor "''') 

 (1880), freilich ohne dabei des Wortes siiiiiina zu gedenken, 

 fiir Griechen wie Romer. So gewinnt gar manche Rcdens- 

 art***) wie des Livius (27) Ausdruck , Einer iiber dem 

 Anderen' fur , Einer nach (zu) dem Anderen' oder des 

 Horaz' ( 23) Wendung vom Zecher, der ,vom ganzen 

 Tage (Volltage) einen Teil abzieht', also schon vor An- 

 bruch des Abends zu zechen beginnt, oder endlich des 

 Cicero (43) Ausdruck ,dies ist die Spitze (das Fazit) 

 meiner Darlegung' ein besonders charakteristisches Ge- 

 prage. Dass hier uberall ganz sinnliche Vorstellungen 

 aus dem Elementarrechnen zu Grunde liegen, wird um so 

 zweifelloser, wenn man die grosse Fiille der Ausdrucke j) 

 beriicksichtigt, die das Latein dieser Sphare der Bauern- 

 okonomie entnommen hat. 



Bestatigt wird endlich unsere ganze Betrachtung 

 und Auffassung durch zwei Punkte. I. Wenn die 



, Summe' auf der obersten Linie steht, so liefert sie der 

 Sprache ein hiibsches und populares Bild fiir den Titel 

 eines Buches, fiir die Ueberschrift eines AbschniUs, fiir 

 den Schlussstein einer Betrachtung, fiir den Kernpunkt 

 einer Darlegung, oder aber fiir den Vorrang, Hohepunkt, 

 Gesamtbegriff, Inbegriff auf anderen Vorstellungsgebieten. 

 Und in der That ist dieser Sprachgebrauch ganz gelaufig, 

 verbreitet und langlebig.-j-f) Schon Thucydides ( 400) 

 nennt den vvichtigsten Punkt eines inhaltreichen Briefes 

 sein ,Kopfstiick'. Dieattischen Redner ( 422 322) fassen oft 

 das Resultat der gesagten Worte als ihre , Summe' zusammen. 

 Plato (f 347) nennt den Kern einer Untersuchung oder 

 das Ziel einer Betrachtung ihr .Kopfende'. Unendlich oft 

 heisst von Plato bis Lucian (-)- 160) unser ,in Summa' in 

 wortlicher Uebersetzung griechisch ,am Kopfende'. Polybios 

 (f 120) nennt eincn abgekiirzten Bericht .summarisch'. 

 Ein Gegner des Demosthenes (j 322) setzt durch ein 

 gewisses Verfahren seinen jungenhaften Streichen die 

 Krone, griechisch das ,Hauptstiick auf. Die Hauptpunkte 

 oder Kapiteliiberschriften seiner Optik nennt Damianos 

 (nach -|- 200) ,Kopfenden'. Und ahnlich ist's bei den 



*) Snbdtieere calculos. 'Ardytir xtrfdlaiov Plut. Arist. 24. Vgl. 

 die Worte nt^ i/'/;yovs dtiu&efr y.ttl y.tydl.ator noittr in der 

 Anm. 2. 



**) M. Cantor, Vorlesungcn iiber Geschichte der Mathcmatik, Leipzig 

 1880. S. 45, 1 10, 448. 



***) Liv. I so, 6: olii super alias. Hor. Od. I I, 20: partem solido (v. 

 sollus ganz) dcinere de die. Cic. Phil. II 32 : hate siiiiiina 1st eoiiclitsionis 



IHt'di'. 



f) Beispicle: future und reri ,rechnen', ratio ,Rechnung', Jispntari 

 rationem cum alitjtw mit jemand abrechnen (wortlich : seine Kechnung 

 auseinanderrcchnen). 



ff) Thuc. IV 50: ah iv ETTiOTohali noU-uiv ttf.i.iar yeypafifttrcov 

 xt(fdj.aioi> /]< r rron; AaxeSatfwviovs. Isocr. IV 149: xeydiniov 

 iVj TiSi' tlf>;fifriai: Plato Phaedr. p. 95 C : TO x f y ri /.at o > Jn- ~.I,TI!-. 

 Plato Gorg. p. 453 A: /} Tinay^tartia rinnoa xiu 70 y.Etfdhatoi- t/ 

 Toi'TO Ti/.tiT<~?. Plato Phaedr. p. 267 D und Lucian Nigr. I: i r y. t <f <t- 

 laito. Ebenso Xenoph. Cyrup. VI 3, 18: ro n/.r'&oi (n~>i> 7io/.c?nxi~>r 

 jiiSfwr) i-iiii' ti.Tt i ! y.fi/ a)./iiii> (in Bausch und Bogen, Summa 

 Summarum). Polyb. Ill 5, 9: Trig ,T(y'fOTri -ri'ir xpdl-eioi' t .T i 

 y.iffa'f.aioi iV/t/./;/.i fhmtr. Und I 65,5: .T i xeyalaiov y.iti Hid 

 flgayitui' (roT xoAiuov) 7ioif,aao9'nt n',r (i'/.v/mr. Demosth. XXI 18: 

 Hi'o Taint ii'iuTiioii (sozusagen) y.erfd).aia ey'amtffi rui* taiTiii rfi-tnn- 

 fi'iitron cTJtd'ijy.tr. Damianos: xeipdiata rear O.TTIXIUI- i>noO'ioE6iv. 



