230 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



N. F. II. Nr. 20 



reicher, von den einzelnen Individuen herriihrenden An- 

 gaben, deren Mittel erst den richtigen, den Abweichungen 

 aller Individuen zu Grunde liegenden Wert ergibt. 



Eine erste Aufgabe \vird es mithin sein, sich die 

 Reprasentanten einer solchen Formeneinheit zu verschaffen, 

 indem man moglichst viele Individuen an der gleiclien 

 Lokalitat sammelt, sodann unter Beriicksichtigung von 

 Geschlecht, Alter etc. eine im iibrigen willkurliche Aus- 

 wahl trifft, und endlich die Eigenschaften dieser Individuen 

 nun statistisch vergleicht. Am cinfachsten gestaltet sich 

 diese Methode dann, wenn die einzelnen Eigenschaften 

 sich durch Zahlen oder Abmessen direkt zahlenmassig 

 ausdriicken lassen, ihre weitere Verarbeitung mittelst rein 

 mathematischer Methoden fuhrt dann zu ausserordentlich 

 iibersichtlichen Ergebnissen. Das Abmessen erfolgt ent- 

 weder direkt oder aber, wie es namentlich bei kleineren 

 Objekten nicht selten erforderlich ist, indirekt durch vor- 

 heriges Uebertragen der Kontur auf eine Papierflache 

 mittelst Photographic oder Zeichenprisma. Zur Erreichung 

 eines moglichst hohen Grades von Genauigkeit bedarf es 

 der Amvendung komplizierter, physikalischer Methoden 

 und Instrumente, namentlich wenn es sich um die Messung 

 gekriimmter Linien und Oberfiachen handelt. Die Aus- 

 fuhrung von Volumen- und Gewichtsmessungen bedarf 

 hier keiner weiteren Auseinandersetzung, schwerer zugang- 

 lich fiir die variationsstatistische Betrachtungsweise sind 

 solche Eigenschaften, die nicht gemessen oder gezahlt 

 werden konnen, die also nicht unmittelbar durch Zahlen 

 ausdriickbar sind, wie beispielsweise Farbungen. Daven- 

 port hat zu ihrer Bestimmung die Anwendung eines 

 Farbenkreisels empfohlen, der sechs gegeneinander ver- 

 schiebbare Grundfarben enthalt, durch deren Kombination 

 jede einzelne Farbennuance ausgedruckt werden kann. 

 Die Verhaltniszahlen der einzelnen in Betracht kommenden 

 Grundfarben, ausgedruckt in Prozenten, ergeben dann einen 

 zahlenmassigen Ausdruck fiir die zu bestimmende Farben- 

 nuance, bezw. deren Abweichungen. Miissen ganze Farben- 

 muster verglichen werden, so sind dieselben in ihre ein- 

 zelnen Komponenten zu zerlegen, und einzeln nach der 

 obigen Methode zu bestimmen und zu vergleichen. 



Vorwiegend hat sich indessen die Variationsstatistik 

 bisher mit den direkt zahlenmassig ausdriickbaren Eigen- 

 schaften der Organismen beschaftigt, und wir miissen nun 

 zunachst eine Reihe von mehr oder weniger rein mathe- 

 matischen Begriffen kennen lernen, soweit dieselben zum 

 Verstandnis des Ganzen unbedingt erforderlich sind. Man 

 bezeichnet die verschiedenen Werte einer einzelnen Eigen- 

 schaft, welche die Betrachtung der gesamten vorliegenden 

 Individuen einer F~ormeneinheit ergab, als Varianten. 

 Dieselben werden nach ihrem Zahlenwerte angeordnet, 

 und unter jede Variante die Haufigkeit oder Frequenz 

 derselben innerhalb des untersuchten Individuenkomplexes 

 gesetzt, um so zunachst einen Ueberblick iiber das Ver- 

 haltnis der einzelnen Varianten zueinander zu erhalten. 

 Man habe beispielsweise in einer Beobachtungsreihe fol- 

 gende Varianten gefunden: 12, 14, n, 13, 12, 12, 14, 13, 

 \2, n, 12, 12, u, 12, 10, II, 12, 13, 12, 13, 12, 12; die- 

 selben stellen die Reihe 10, n, 12, 13, 14 dar, die ent- 

 sprechenden Frequenzen sind i, 4, 11, 4, 2. Wir erhalten 

 somit folgendes Schema: 



Varianten: 10 n 12 13 14 

 Frequenzen : i 411 4 2 

 Das Ganze bezeichnet man als die Var i at ions- 

 re ihe des betreffenden Merkmals. 



Etwas schwieriger gestaltet sich das Aufstellen einer 

 solchen Variationsreihe dann, wenn die einzelnen Varianten 

 nicht durch ganze Zahlen ausgedruckt werden konnen, 

 sondern Bruche darstellen, die bei den verschiedenen In- 

 dividuen um einen, wenn auch nur geringen Wert von- 

 einander differieren, wie es namentlich bei Messungen 



eines Merkmales sich fast stets ergeben wird. Es liege 

 uns folgende Beobachtungsreihe eines Merkmals vor: 



3.2 4,5 5,2 5,6 6,0 

 3,8 4,7 5,2 5,7 6,2 

 4,1 4,9 5,3 5,8 6,4 



4.3 5,o 5,3 5,8 6,7 

 4,3 5,1 5,4 5,9 7,3 



Wir schaffen nun zunachst eine Reihe von Varianten- 

 klassen; indem wir eine den gefundenen Zahlenwerten 

 entsprechende, vollig kontinuierliche Zahlenreihe aufstellen, 

 dieselbe in eine Anzahl gleich grosser Abschnitte zerlegen 

 und letztere durch ihr IVlittel bezeichnen. Die Haufigkeit 

 aller der Werte, welche innerhalb einer abgegrenzten 

 Variantenklasse liegen, ergiebt sodann die Frequenz der 

 betreffenden Variantenklasse, oder wenn wir das Mittel in 

 Betracht ziehen, der betreffenden Variante. In unserem 

 speziellen Falle ergiebt sich somit folgende Variationsreihe : 



Variantenklassen: 3,0 3,4 3,5 3,9 4,0 4,4 

 Mittel derselben: 3,2 3,7 4,2 



Frequenzen: 113 



4,5 4,9 5, 5,4 



4,7 5,2 



37 



Variantenklassen: 5,55,9 6,0 6,4 6,5 6,9 7,07,4 

 Mittel derselben : 5,7 6,2 6,7 7,2 



Frequenzen: 5 3 i I 



Noch ubersichtlicher gestalten sich diese Verhaltnisse 

 bei Anwendung der graphischen Methode, einem wichtigen 

 Htilfsmittel der Variationsstatistik. Man tragt in einem 

 Koordinatensystem die Zahlenwerte der Varianten auf der 

 Abscissenachse als Punkte gleichen Abstandes auf, die 

 prozentuarische Haufigkeit derselben auf der Ordinaten- 

 achse in der gleichen Weise, verbindet je zwei benach- 

 barte Ordinaten miteinander und erhalt so eine Reihe 

 gradliniger Verbindungslinien, die mit der als Basis 

 dienenden Abscissenachse ein Polygon einschliessen. Dieses 

 Polygon bezeichnet man als das Variationspolygon 

 des betreffenden Merkmals. Ein Beispiel moge uns Kon- 

 struktion und Gestaltung eines solchen naher veranschau- 

 lichen. Die Untersuchung der Variabilitat der Anzahl der 

 oberen Zahne des Stirnfortsatzes eines Krebses (des Palae- 

 nwnetes varians] zu Plymouth ergab fur 915 Individuen 

 folgende Variationsreihe : 



Varianten (der Anzahl der Zahne): I 2 3 4 567 

 Frequenzen: 2 18 123 372 349 50 I 



Frequenzen (in Prozenten): 0,2 1,9 13,6 40,6 38,1 5,5 o,I 



Tragen wir diese Werte (die Frequenzen in Prozent- 

 zahlen) nunmehr in der oben angegebenen Weise in ein 

 Koordinatensystem ein, so erhalten wir folgendes, ohne 

 weiteres verstandliches Variationspolygon : 



Frequenzen: 

 40 



35 



30 

 25 

 20 

 15 

 10 



7 :Varianren 



Fig. I. Variationspolygon der oberen Zahne des Stirnfortsatzes von 

 Palatmonetcs various zu Plymouth. (M = 4,3'2)- Nach Duncker. 



