N. F. II. Nr. 20 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



231 



Der Durchschnittswert (M) einer Eigenschaft 

 ist aus ihren einzelnen Varianten und deren Haufigkeiten 

 ohne weiteres zu ermitteln, indem man die Summe der 

 Produkte samtlicher beobachteter Varianten (V) und ihrer 

 Frequenzen (f) durch die Zahl der untersuchten Indivi- 

 duen dividiert, allgemein ausgedriickt durch die Formel : 



(Vf) 

 M = . Unser spezieller Fall wiirde so ergeben : 



M _ 0,2 + 3,6 + 40,8 + 162,4 + 190,5 + 33,0 + 0,7^ i ^ 



IOO 



Dieser Wert ist als ein Punkt auf der Abscissenachse dar- 

 stellbar, die hier errichtete Ordinate heisst die S c h w e r - 

 punktsordinate (in unserem Beispiel die bei M er- 

 richtete, punktierte Normale) des Variationspolygons. Der 

 Gipfel des Polygons liegt in der Regel in der Nahe der 

 Schwerpunktsordinate, die Variante, zu welcher er gehort, 

 ist diejenige mit der grossten Frequenzzahl, man bezeichnet 

 sie als Modal variant e (in unserem Beispiel dargestellt 

 durch die Variante 4). Je geringer die Variabilitat einer 

 Eigenschaft ist, desto hoher und schmaler ist ihr Varia- 

 tionspolygon, wahrend umgekehrt einer bedeutenden 

 Variabilitat ein breites und niedriges Variationspolygon 

 entspricht. Ein solches von letzterem Typus ergiebt bei- 

 spielsweise die Strahlenzahl der Afterflosse von Pleuronectes 

 flesus aus der siidostlichen Nordsee. ,^ Die Strahlenzahl 

 schwankt von 37 47, der Mittelwert betragt 41,56. 



Frequen zen 

 25 



37 



39 



40 



i M A: 



43 44 



47 Varianten 



Fig. 2. Variationspolygon der Strahlenzahlen der Aiterllosse von 



Plturonectes flesus aus der siidostlichen Nordsee. (.17 == 41,56). 



Nach D u n c k e r. 



Kehren wir nunmehr zur weiteren rechnerischen Be- 

 arbeitung der aufgestellten Variationsreihen zuriick. Wir 

 hatten oben bereits die Formel fur den Mittelwert kennen 

 gelernt, aus ihr lasst sich ohne weiteres die Abweichung 

 jeder Variante vom Mittel bestimmen, insofern dieselbe 

 stets gleich der betreffenden Variante minus dem Mittel 

 ist. Weiter hat man ftir die Variabilitat einer Eigenschaft 

 einen einfachen Ausdruck durch die Aufstellung des sog. 

 Variabilitatsindex gewonnen. Man erhiilt denselben, 

 wenn man die quadrierten Abweichungen jeder Variante 

 vom Mittel mit ihrer Frequenz multipliziert, diese samt- 

 lichen Produkte addiert, durch die Gesamtzahl der Indivi- 

 duen dividiert und schliesslich aus dem ganzen Werte 

 die Wurzel auszieht. In einer Formel ausgedriickt ist 

 dieser Wert = 



Eigenschaft, die Beschreibung wird erst vollkommen, wenn 

 durch Analyse des Variationspolygons eine Kurve ermittelt 

 wird, auf welcher die Eckpunkte dieses Polygons liegen. 

 Die Aufstellung dieser theoretischen Variationskurven 

 erfolgt auf rein mathematischem Wege unter Zugrunde- 

 legung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, da sich heraus- 

 stellte, dass die Gesetze der Variation sich in vieler Hin- 

 sicht denen der Wahrscheinlichkeitsrechnung anschliessen, 

 insofern von den unendlich mannigfachen, auf jedes In- 

 dividuum der Formeneinheit einwirkenden Ursachen stets 

 nur ein Teil thatsachlich in Wirksamkeit tritt, und diese 

 wirksamen Ursachen, die je nach ihrem Verhalten zum 

 Mittelwerte bald positiv, bald negativ sein konnen, eine 

 beliebige Kombination bilden, die als solche eine grossere 

 oder geringere Wahrscheinlichkeit besitzt. Wir verdanken 

 die Ausarbeitung dieser rein mathematischen Methoden 

 hauptsachlich dem Englander Pearson. 



Die Variationskurven konnen eine sehr verschiedene 

 Gestalt besitzen, sie sind bald symmetrisch, bald asymme- 

 trisch, je nachdem die positiven und negativen Variations- 

 ursachen zu beiden Seiten des Mittelwertes gleich sind 

 oder zum Teil nach der einen Seite hin iiberwiegen. Bei 

 symmetrischen Kurven fallen Schwerpunkts- und Gipfel- 

 ordinate zusammen, bei den asymmetrischen weisen sie 

 einen bestimmten Abstand voneinander auf, der mit zu- 

 nehmender Asymmetric naturgemass anwachsen muss und 

 der gleichfalls zur genauen Bestimmung der Variation 

 einer Eigenschaft (als sog. Asymmetrieindex) von Bedeu- 

 tung ist. 



Neben diesen einfachen Variationskurven konnen 

 weiter solche auftreten, die sich aus einer grosseren Zahl 

 von einheitlichen Kurven zusammensetzen, die sogenannten 

 Komplexkurven. Summieren sich zwei symmetrische 

 Kurven mit zusammenfallenden Schwerpunktsordinaten, 

 so entstehen eingipflige, symmetrische Komplexkurven, 

 und ihre Zerlegung ist dann nicht leicht. Ist die Kom- 

 plexkurve dagegen mehrgipflig, so ergiebt sich ohne 

 weiteres, dass hier verschiedene Kurven vorliegen, denen 

 auch mehrere Variationspolygone entsprechen miissen. 

 Auf dem Gebiete der Zoologie weisen Komplexkurven 

 meist nur eine geringe (selten iiber zwei) Gipfelzahl auf, 

 das Schema einer solchen veranschauliche uns die fol- 

 gende Figur. 



' [(Abweichung d. Variante vom Mittel) 3 . Frequenz] -i 2 (x 2 . f) 



Anzahl der Individuen I/ n 



Dieser Variabilitatsindex einer Eigenschaft, der iibrigens 

 nicht von alien Autoren vollig iibereinstimmend definiert 

 worden ist, giebt uns den Grad der Wahrscheinlichkeit 

 an, unter einer gegebenen Anzahl von Individuen indivi- 

 duelle Verschiedenheiten dieses Merkmals anzutreffen, er 

 ist von grosser Bedeutung und bildet zusammen mit dem 

 Durchschnittswert die wichtigsten zur Beschreibung einer 

 Variation notwendigen Angaben. Beide geben indessen 

 nur eine angenaherte Vorstellung von der Variation einer 



Fig. 3. Zweigipflige Variationskurvc (Komplcxkurve). 

 Nach Davenport. 



Eine mehrgipflige Kurve weist stets darauf hin, dass 

 innerhalb einer Formeneinheit nicht nur zwei (teils posi- 

 tive, teils negative) Gruppen von Ursachen um ein be- 



