Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



N. F. n. Nr. 24 



der ausserhalb des Rahmens liegenclen ersten und letzten 

 Stellen. Die letzte Null fallt immer weg. 



Die Zahl hat aber noch weitere Eigentiimlichkeiten. 

 Von ihnen mag besonders hervorgehoben werden, dass 

 die Addition der o Stellen zahlenden ersten Hal ft e der 

 Zahl mit der ebensoviel Stellen zahlenden zweiten Halite 

 lauter Neunen giebt. Es ist 



526315789 

 + 473684210 



= 999999999 



Weiter ist als eigentiimlich 7.11 erwiihnen, dass in ihr, 

 mit Ausnahmc von o und 9, die in ihr nur einmal vor- 

 kommen, jede der iibrigen einstelligen Zahlen zweimal 

 vertreten ist. 



Das beste aber an ihr ist, dass sie sich ungemein 

 leicht finden lasst. Denn multipliziert man I mit 2 und 

 setzt die als Produkt erhaltene 2 vor die i und multipli- 

 ziert nun die 2 mit 2 und setzt, was man erhalt, wieder 

 davor und multipliziert auf dieselbe Weise solange welter, 

 bis man zu einer VViederholung der Produkte kommt, so 

 erhalt man jene merkwiirdige Zahl, der man nur O zu- 

 zufiigen hat. Man beachte bei dieser Multiplikation nur, 

 dass bei zweistelligen Produkten nur die letzte Stelle bin- 

 zuzuschreiben ist und diese dann multipliziert werden 

 muss, und jetzt die erste Stelle dem nunmehrigen Pro- 

 dukte zuzuzahlen ist; also in folgender Weise: iX 2 = 2 > 

 diese 2 vor i gesetzt giebt 21; 2 >< 2 = 4, 4 vor 2 1 giebt 

 421; 4X2 = 8, 8 vor 421 giebt 8421; 8 ;< 2 = 16, 6 

 vor 842 1 giebt 68 42 1 ; 6X2=12, 12 -\- l== 13, 3 vor 

 68421 giebt 368421 u. s. w. 



Diese Bildungsweise der merkwiirdigen Zahl verlockt 

 natiirlich zu dem Versuche, auf ahnlichem Wege nach 

 anderen derartigen Zahlen zu suchen. Dass man hierbei 

 durch Aenderung des ursprlinglichen Multiplikanden zu 

 keinem neuen Resultate gelangen wird, ist leicht einzu- 

 sehen. Wiirde man z. B. statt I, die man zuerst mit 2 

 zu multiplizieren begann, 2, 3, 4 u. s. w. nehmen, so mu'sste 

 man auf dieselbe Reihenfolge der Produkte kommen; 

 da ja schon bei der eben ausgefuhrten Multiplikation jede 

 einstellige Zahl mit 2 multipliziert worden ist. Man sieht 

 auch leicht ein, dass man eine grossere als eine iSstellige 

 Periode durch diese Multiplikation nicht erhalten kann. 

 Man wird namlich immer wieder jede einstellige Zahl von 

 I bis 8 zweimal und o und 9 nur einmal erhalten. I z. B. 

 nur dadurch, dass zur Multiplikation der 5 das eine Mai 

 nichts, das andere Mai von der vorhergehenden Multipli- 

 kation noch I zuzuzahlen war. 2 erhielt man dadurch, 

 dass I oder 6 zu multiplizieren und beide Male keine i 

 zu addieren war. Und so ist fur jede andere Zahl bis 8 

 eine doppelte Moglichkeit ihrer Entstehung gegeben, aber 

 immer nur eine doppelte, wahrend fur o und 9 nur eine 

 einmalige vorhanden ist. 9 kann nur dadurch entstehen, 

 dass zum Produkte von 4 >', 2 noch I zu addieren ist. Eine 

 zweite 9, die man durch Multiplikation einer voraufgehenden 

 9 und darauf folgender Addition von I erhalten wiarde, 

 hat zur Voraussetzung, dass vor dieser 9 eine solche Zahl 

 gestanden, die ein zweistelliges Produkt liefert, so dass dem 

 folgenden Produkte i zuzuzahlen war; eine solche Zahl 

 muss aber grosser als 4 sein ; 4 war ja aber die Bedingung, 

 dass die erste 9 entstand. Es ist also eine Wiederkehr 

 der 9 ausgeschlossen; und eine ganz ahnliche Betrachtung 

 ergiebt auch die Unmoglichkeit der Wiederkehr der Null. 

 Es wird aber sofort eine andere Periode erhalten, 

 wenn der Multiplikator geandert wird. Durch Multipli- 

 kation cler I mit 3 und immer weiteres Multiplizieren des 

 eben erhaltenen Produkts in der oben angedeuteten Weise 

 erhalt man die 28-stellige Periode 



1034 4827 5862 0689 6551 7241 3793, 

 die alle die Eigentumlichkeiten der zuerst angefuhrten 



merkwiirdigen Zahl hat. Sie giebt mit 2 multipliziert 



2 0689 6551 7241 3793 1034 4827 586, mit 3 



3 1034 4827 5862 0689 6551 7241 379, mit 4 

 41 3793 1034 4827 5862 0689 6551 72. 



Die Multiplikation mit zwei- und mehrstelligen 

 Multiplikatoren giebt, wie bei der iSstelligen Periode, 

 Zahlen, die in ihrem Kern mit der gegebenen Zahl uber- 

 einstimmen; das Fehlende erhalt man immer durch Addition 

 der vor und nach dem Kern vorhandenen Zahlen. So 

 giebt die Zahl mit 37 multipliziert 



3 827 5862 06896551 7241 3793 1034 i, 

 in welcher Zahl die voranstehende 3 und die am Ende 

 befindliche i summiert die vor der ersten 8 fehlende 4 

 geben. 



Mit 123 multipliziert erhalt man 



12 7241 3793 1034 4827 5862 068965 39, 

 wo die ausserhalb des Rahmens stehenden Zahlen 12 und 

 39 summiert die zu vermissende 5 1 geben. 



Zerlegt man die Zahl in zweimal 14 Stellen und addiert 

 beide Halften, so erhalt man, wie bei der i8-stelligen 

 Zahl, lauter Neunen zur Summe. 



Jede der Zahlen von i bis 8 ist in der 28-stelligen 

 Periode 3 mal vertreten , o und 9 nur 2 mal , was sich 

 in ahnlicher Weise wie bei der iS-stelligen Zahl leicht 

 begriinden lasst. 



Nimmt man nun zum Multiplikator 4 und multipliziert 

 in der oben angegebenen Weise, so erhalt man eine 

 6-stellige Periode, die die erwahnten Eigenschaften nicht 

 zeigt; multipliziert man aber I mit 5 u. s. f., so ist das 

 Ergebnis die 42stellige Periode 



102040816326530612 244 897959 183673469387755, 

 die mit alien Zahlen, ausser mit 7 oder einem Vielfachen 

 davon multipliziert, eine Wiederkehr der Ziffernfolge bringt, 

 und die in ihren beiden Halften addiert eine Zahl von 21 

 Neunen als Summe giebt. Die Ziffern I, 2, 4, 5, 7, 8, 9, o 

 kommen in ihr viermal, 3 und 6 dagegen fiinfmal vor ; was 

 zunachst auffallig erscheint und zu einer Untersuchung 

 auffordert. 



Bei der Multiplikation mit 5 als Multiplikator ist als 

 letzte Stelle des Produkts nur o und 5 moglich; jede 

 andere Ziffer, die bei dieser Multiplikation erhalten wird, 

 kann nur dadurch entstehen, dass der o oder der 5 der 

 Ueberschuss i, 2, 3 oder 4 aus der vorhergehenden Mul- 

 tiplikation zuzufiigen ist. O nun kann sich nur als Pro- 

 dukt ergeben, wenn eine geradstellige Zahl 8, 6, 4, 2 oder o 

 multipliziert wird. O selbst aber kann nicht hinter O im 

 Multiplikand stehen, wenn man immer im Auge behalt, 

 dass die vorhergehende Zahl durch Multiplikation der 

 folgenden gewonnen wird. Also kann O nur 4 mal vor- 

 kommen und muss, wie die 42 stellige Periode auch ohne 

 weiteres ersehen lasst, einmal 2, ein anderes Mal 4, ein 

 drittes Mal 6 und ein viertes Mal 8 hinter sich haben. 

 Bei Wiederkehr derselben Reihenfolge geht die Periode 

 zu Ende. 



i kann sich nur als Produkt ergeben, wenn dem Re- 

 sultate einer geradstelligen Zahl I von der vorhergehenden 

 Multiplikation zuzuzahlen ist. Der Ueberschuss i aber 

 kann nur durch Multiplikation einer 2 oder 3 bewirkt 

 werden. Es ist also die Reihenfolge der Zahlen 102 und 

 103, 122 und 123, 142 und 143, 162 und 163, 182 und 

 183 in Erwagung zu ziehen. Davon fallen zunachst weg 

 103, 123, 14 3, 162 und 182, die durch Multiplikation mit 5 

 nach der oben angegebenen Art und Weise nicht erhalten 

 werden konnen. 142 ist aber eben auch unmoglich, denn 

 es wiirde hinter sich 857 142 u. s. w. haben, d. h. zu einer 

 Gstelligen Periode fiihren, die die 42 stellige ausschliessen 

 wiirde. Dass aber diese 6 stellige Periode sich ergeben 

 muss, zeigt folgende Betrachtung. Hinter 142 kann nur 



