N. F. II. Nr. 24 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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8 oder 9 stehen, da die vor 2 stehende 4 nur durch 

 Addition von 4 zu O erhalten werden kann. 9 aber ist 

 unmoglich, well 9 mit 5 rnultipliziert nicht die verlangte 2 

 ergeben kann. Also bleibt nur 1428 moglich. Hinter 8 

 muss aber 4 oder 5 stehen, da die vor 8 stehende 2 nur 

 durch Addition von 2 zu O erlangt werden kann. 4 wieder 

 ist unmoglich, da die Multiplikation der 4 mit 5 keine 8 

 bringt. Also bleibt nur 14285 moglich. Hinter dieser 

 kann aber nur 6 oder 7 gestanden haben, um eine iiber- 

 schiissige 3 zu bekommen. 6 ist wieder unmoglich, weil 

 sie durch Multiplikation mit 5 nicht 5 geben kann. Also ist 

 nur die Reihenfolge 142857 moglich. Um aber 5 durch 

 Multiplikation der lolgenden J zu erhalten, kann nur O oder I 

 hinter 7 gestanden haben. Eine folgende o kann aber 

 nicht 7 als Produkt geben, also bleibt nur die Reihenfolge 

 1428571 iibrig, und damit beginnt die Periode von vorn. 

 i 4 kann also als Reihenfolge der Ziffern nicht vorkommen. 



Untersuchen wir, was auf 2 folgen kann, die, wie i, 

 nur als Zuschuss zu der bei der Multiplikation an letzter 

 Stelle erhaltenen o moglich ist, so werden wir nach ganz 

 analoger Betrachtungsweise finden, dass auf sie zunachst 

 aber auch, wie auf I, eine ungerade Zahl nicht folgen 

 kann, von den geraden aber auch eine, namlich 8, un- 

 moglich ist. Die Reihenfolge 2 8 wiirde die 6 stellige 

 Periode 285714 zur Folge haben. 



Auf 4 kann auch keine ungerade Zahl und von den 

 geraden 2 nicht folgen; ihre Folge wiirde die 6stellige 

 Periode 428 571 nach sich ziehen. Auf 5 kann keine gerade 

 Zahl und von den ungeraden 7 nicht folgen, deren Folge 

 zur Gstelligen Periode 571428 fiihrt. Bei 7 ist von den 

 ungeraden Zahlen, die allein ihr folgen konnen, I aus- 

 geschlossen, die die Periode 714285 bringen wiirde u. s. w. 



Es muss hier ohne weiteres auffallen, dass die 6 stelligen 

 Perioden immer mit denselben Ziffern in derselben Reihen- 

 folge auftreten und zweitens, dass diese 6 stellige Periode 

 alle die Eigenschaften auch besitzt, die die zuerst als 

 merkwiirdige Zahl hingestellte iSstellige Periode hat, nur 

 dass sie nicht mit 7 oder einem Vielfachen davon mul- 

 tipliziert werden darf. Sie ist aber nicht s welter 

 als der in Dezimalbruchform ausgedriickte 

 Bruch i-, bez. 2-, 3-, 4-, 5-, 6 Siebentel. 



Hier muss natiirlich jeder sofort erwarten, dass auch 

 die oben angegebene merkwiirdige Zahl einem einfachen 

 Bruche entsprechen werde, und in der That ist sie nur 

 der in Dezimalperiode ausgedriickte Bruch T }}; wahrend 

 die anderen beiden, die 28- und die 42 stellige Periode die 

 Werte von -j 3 5 , bezw. -fa ausdriicken. 



Durch diese Losung wird nicht nur ein neuer Weg 

 erschlossen, derartig merkwurdige Zahlen in unbeschrankter 

 Anzahl zu finden, sondern es wird auch hieraus verstand- 

 lich, warum diese Zahlen die erwahnten Merkwiirdigkeiten 

 haben. 



Verwandelt man einen gemeinen Bruch in einen 

 Dezimalbruch, so macht man bekanntlich von der Defini- 

 tion des Bruches Gebrauch, dass derselbe eine angedeutete 

 Division ist; dividiert den in Zehntel, bez. Hundertel u. s. w. 

 verwandelten Zahler des Bruches durch den Nenner, bringt 

 den Rest auf weitere Potenzen von 10 und dividiert durch 

 den Nenner solange weiter, bis entweder die Division 

 aufgeht oder durch Wiederkehr desselben Restes sich die 

 Periodizitat des Bruches anzeigt. Handelt es sich um die 

 Umwandlung von igtel in einen Dezimalbruch, dividiert 

 man also den in lotel oder lootel aufgelosten Zahler und 

 seine Reste nach weiterer Multiplikation mit 10 immer 

 durch 19, so sind 1 8 verschiedene Reste moglich, die in 

 unabanderlicher Reihenfolge nacheinander auftreten miissen. 

 Auf den Rest i z. B. muss durch Multiplikation mit IO 

 10 folgen, auf diesen 5, hierauf 12, dann 6 u. s. w. Die 

 Divisionen 'yV', T , T f, T \ konnen nicht in anderer als in 

 der hier gegebenen Reihenfolge vorkommen, demnach 



auch nicht die aus ihnen hervorgehenden Ouotienten. Ver- 

 wandelt man ^ in einen Dezimalbruch, so ist die Reihen- 

 folge der Ouotienten 0,052631578947308421 und nun- 

 mehrige Wiederkehr derselben Reihe; bei der Umwandlung 

 von -frj in einen Dezimalbruch beginnt die Reihc mit OI, 

 auf welche 05263 u. s. w. folgen miissen, bei -^ beginnt 

 die Reihe mit 01 und nachfolgenden 5789 u. s. \v. 



Nun aber ist T - ff = T 'g- >: 2, ^ = T ' g < 3 u. s. w. Es 

 ist demnach gleichgiiltig, ob man T ' in einen Dezimalbruch 

 utmvandelt und denselben mit 2 multipliziert, um den 

 Wert fiir -j' 2 g 7,11 erhalten, oder ob man gleich j 2 5 in einen 

 Dezimalbruch iiberfiihrt. Die Multiplikation der fiir T ' 9 

 erhaltenen Dezimalzahl mit 2, 3 u. s. w. bringt also immer 

 wieder dieselbe Ziffernfolge, nur jedesmal mit einer anderen 

 Zifi'er beginnend. Mit 19 dagegen multipliziert wird T '^ = I, 

 das heisst fiir einen periodischen Dezimalbruch, samtliche 

 Produkte werden 9. 



Ferner ist leicht begreiflich, warum jede beliebige 

 einstellige Zahl mit 2 multipliziert eben dieselbe Periode 

 geben muss. 



- ist 

 19 



20 I 



I . , , i , I 



ist aber = 

 20 I 20 



+ ^+ 



2O' ! 



_!_...= _j_ 20 2 + \ 2O' 2 + 



->o 4 ' ->o i - 



I - I 



I 



20 



IO 



IO' 



IO 3 



1 I 1 



2 _L 2 2 



. 



2+2 



10 



10- 



IO S 



IO 4 



Jeder folgende Summand enthalt also zunachst Einheiten, 

 die T ' der Einheiten des vorhergehenden sind. Zahlen aber, 

 deren Einheiten in dem angegebenen Verhaltnisse stehen, 

 unterscheiden wir durch ihre Stellung. 



Die Menge der Einheiten ist aber nur die Halfte des 

 vorhergehenden Summanden, oder von hinten angefangen, 

 der voraufgehende Summand ist doppelt so gross wie der 

 folgende. 



Bei der 28 stelligen Periode lasst sich in ganz analoger 

 Weise die Wiederkehr der Ziffern in gleicher Reihenfolge 

 durch Multiplikation mit den verschiedenen Multiplikatoren, 

 ausgenommen mit 29, nachweisen und ebenso die Ueber- 

 einstimmung dieser Reihenfolge mit der durch fortgesetzte 

 Multiplikation mit 3 gewonnenen Periode. 



Die Multiplikation mit 4 giebt eine nur Ostellige 

 Periode, obschon sie einem Dezimalbruch entspricht, der 



dem gemeinen Bruch -- gleichwertig ist; da aber 39 keine 



Primzahl ist, bringt sie nur die Periode, die ihr grosster 

 Primfaktor 1 3 bringt. 



Die durch Multiplikation mit 5 erhaltene Periode, die 



dem gemeinen Bruch entspricht, ist 42 stellig. Der Prim- 

 faktor 7 giebt eine Ostellige Periode, die sich hier, da 

 derselbe Primfaktor zweimal vorkommt, zu einer 7 mal 

 6 stelligen Periode erweitert. 



Durch fortgesetzte Multiplikation mit 6 erhalt man 



eine 5 8 stellige Periode, die dem gemeinen Bruche 



entspricht. 



Es bleibt nun noch zu erortern iibrig, warum derartig 

 erhaltene Dezimalperioden bei der Addition der einen 

 Halfte ihrer Ziffern mit der anderen nur Neunen als 

 Summe geben. Beginnen wir mit einem Beispiele. \ ist 

 in Dezimalbruchform ausgedriickt - - o,(i42857j . . . = 



-. Da sich dieser Bruch auf i kiirzen lassen muss, 

 999999 

 und im Nenner der Faktor 9 enthalten ist, muss er auch 



im Zahler enthalten sein. Jedes Vielfache von 9 hat aber 



