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Ma 6 und Messen 



Einzelwertes ist ; und hier konnte 

 man auf den naheliegenden Gedanken kom- 

 men, alle Fehlerquellen zu addieren olme 

 Uiicksicht auf das Vorzeichen und dann durch 

 7 zu dividieren, womit man 28,3:7, also 4,04 

 erhielte. Eine nahere Untersuchung ergibt 

 aber, daB dieses Verfahren den Verhalt- 

 nissen nicht gerecht wird; es kommt dabei 

 nicht zum Ausdruck, daB die starken Fehler 

 das Vertrauen in das Ergebnis ganz beson 

 ders stark beeintrachtigen. Das richtige 

 Verfahren, das hier nicht bewiesen werden 

 kann, besteht darin, daB man die einzelnen 

 Fehlerquadrate bildet, ihre Summe (S) 

 bildet, (Vorzeichen kommen hier nicht in 

 Frage, da Quadrate immer positiv sind), 

 durch die um eins verminderte Anzahl n 

 der Einzelbeobachtungen dividiert und 

 schlieBlich die Wurzel zieht, in Formel 



1 



In unserem Falle erhalt man als Fehler 

 quadrate: 

 2,89 10,89 5,29 13,69 75,69 1,69 53,29, 



als ihre Summe 163,43 und schlieBlich als 

 mittleren Fehler eines Einzelwertes 5,22 

 eine Zahl, die, wie man sieht, erheblich 

 groBer ist als die, die das falsche Verfahren 

 geliefert hatte. Statt den Fehler in Form 

 einer Zahl, kann man ihn auch in Prozenten 

 des Mittelwertes der gemessenen GroBe selbst 

 angeben, wodurch man sich ein viel deut- 

 licheres Bild von dem realtiven Fehler 

 machen kann, und erhalt dann als mittleren 

 prozentischen Einzelfehler 14,7 %. Um nun 

 zu dem Fehler des Endergeb- 

 n i s s e s iiberzugehen, der naturlich in- 

 folge der Kombination vieler Einzelbeob- 

 achtungen viel kleiner ist als der einer Einzel- 

 beobachtung, muB man, wie die Theorie 

 nachweist, noch mit der Wurzel aus der 

 Anzahl der Beobachtungen dividieren, erhalt 

 also die Formel 



/' 



In unserem Falle gibt das 1,97 oder 5,6 %. 

 Dies ist der mittlere Fehler des Ergebnisses; 

 er nimmt, wie man sieht, ab, wenn die Zahl 

 der Beobachtungen zimimmt. Noch wich- 

 tiger und von ihm verschieden ist das, was 

 man den w a h r s c h e i n 1 i c h e n F e h 1 er 

 nennt; er besagt, daB es ebenso wahrscliein- 

 lich ist, daB der Fehler groBer wie daB er 

 kleiner sei; sein Wert hangt von dem Cha- 

 rakter der zu messenden Gr-oBe ab, insbe- 

 sondere davon, ob sie positive und negative 

 oder nur positive Werte haben kann, ob 

 sie beliebig groBe Werte annehmen kann 

 oder nur solche bis zu einer bestimmten 

 Grenze usw. Im einfachsten Falle wird 



der wahrscheinliche Fehler reichlich zwei 

 Drittel des mittleren, in unserem Falle also 

 fur jede Einzelzahl 3,48 und fiir die Endzahl 

 1,33 oder 3,76 %. SchlieBlich schreibt man 

 also das Ergebnis der ganzen Beobachtung 

 und Berechnung in der Form: 



35,3 1,33. 



Wie man sieht, sind die Zehner der gefundenen 

 Zahl gesichert, die Einer werden hochstens 

 um eine Einheit falsch sein, dagegen sind 

 die Zehntel ganz unsicher. Es ist durchaus 

 notwendig, bei der Angabe einer ermittelten 

 Zahl zwar so genau zu verfahren wie mog- 

 lich; es ist aber irrefiihrend, diese Genauig- 

 keit zu iibertreiben und Stellen anzugeben, 

 die auBerhalb der Fehlergrenzen liegen; 

 man muB eben mit den Dezimalstellen an 

 der richtigen Stelle aufhoren und bei ganzen 

 Zahlen aus vielen Stellen fiir die letzten 

 Stellen lieber Nullen nehmen, als durch 

 Einsetzung bestimmter Ziffern den Ein- 

 druck zu erwecken, als ob diese Stellen 

 sicher waren. 



Unter den zahlreichen Beobachtungen 

 einer und derselben Grb'Be sind zuweilen 

 nicht alle gleich zuverlassig, und es ist dann 

 ungerechtfertigt, alien denselben EinfluB 

 auf den Mittelwert einzuraumen. Manchmal 

 ist es dann moglich, so zu verfahren, daB 

 man einigen Einzelwerten doppeltes Ge- 

 wicht beilegt, d. h. so verfahrt, als ob man 

 sie zweimal beobachtet hatte, eventuell auch 

 dreimal usw.; oder man beriicksichtigt ein- 

 zelne Beobachtungen nur mit dem halben 

 Gewicht. Indessen muB man hierbei sehr vor- 

 sichtig verfahren und jede subjektive Partei- 

 lichkeit sorgfaltigst vermeiden. Ebenso ist 

 es unzulassig, einzelne Beobachtungen bloB 

 deshalb auszuschlieBen, weil der betreffende 

 Wert abnorm ercheint; er wird ja dann 

 ohnehin keinen groBen EinfluB auf die 

 Endzahl gewinnen ; nur wenn man bestimmte 

 Griinde angeben kann, warum dieser Wert 

 so abnorm ausgefallen ist, darf man ihn 

 weglassen. 



Die Ermittelung des wahrscheinlichen 

 Fehlers einer gemessenen Grb'Be ist fiir viele 

 Fragen von groBer Bedeutung; es sei nur 

 ein Beispiel angefiihrt. Es handelt sich 

 um zwei GroBen, von denen man nicht 

 weiB, ob sie gleich oder verschieden sind, 

 etwa die Intensitat des Erdmagnetismus im 

 Sommer und im Winter. Man miBt die eine 

 zehnmal und bcstimmt den Mittelwert nebst 

 dem wahrscheinlichen Fehler; ebenso die 

 andere. 1st nun die Differenz beider Mittel- 

 werte noch innerhalb der Fehlergrenzen 

 jedes der beiden Werte gelegen, so muB 

 man beide GroBen fiir gleich erklaren; ist 

 sie grb'Ber, so kann man mit Wahrschein- 

 lichkeit annehmen, daB sie verschieden 

 sind, daB also der Erdmagnetismus im 



