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MaB und Messen - MasSemnessmig 



Funktion; die fruheren Kurven sind nichts 

 anderes als die Schnitte dieses Modells mit 

 einer der Koordinatenebenen. 



18. Methode der kleinsten Quadrate. 

 Bisher 1st es immer nur eine einzige GroBe 

 gewesen, die zu bestimmen war. Handelt 

 es sich um eine ganze Anzalil solcher, so 

 muB man naturlich eine entsprechende An- 

 zahl von Beobachtungen anstellen, und die 

 Saclie ist einfacli, wenn jede Beobachtung 

 gerade den Anhalt ftir eine der zu messenden 

 GrbBen enthalt. Dieser Fall tritt aber selir 

 selten ein; meist sind die gesuchten GrbBen 

 mit den gegebenen sozusagen verkettet, es 

 sind fur die gesuchten GrbBen ebensoviele 

 Gleichungen aus den Beobachtungen ab- 

 geleitet worden, und man muB nunmehr 

 diese Gleichungen auflosen, um alle Un- 

 bekannten zu finden. Hierbei findet man aber 

 fiir jede GroBe nur einen einzigen Wert und 

 erhalt keinen Anhalt fiir dessen Genauigkeit. 

 Um das zu erreichen, muB man mehr Be- 

 obachtungen anstellen, als Grb'Ben gesucht 

 sind, kommt aber nun offenbar wegen der 

 Verkettung dieser GroBen in den Gleichungen 

 nicht mehr mit einer einfachen Mittelbildung 

 aus, sondern muB nach einem anderen Ver- 

 f ahren suchen. Dieses ist von G a u B auf 

 Grund der Wahrscheinlichkeitsrechnung aus- 

 gearbeitet worden und heiBt die Methode 

 der kleinsten Quadrate. Es 

 ist unmbglich, ohne zu mathematisch zu 

 werden und ohne den gegebenen Raum zu 

 iiberschreiten, diese Methode hier wieder- 

 zugeben; es muB an einer kurzen Andeutung 

 geniigen. Die Methode liefert fiir die ge- 

 suchten Grb'Ben solche Werte, daB die Summe 

 der Quadrate der Abweichungen aller Einzel- 

 werte von ihnen so klein wie mbglich wird. 

 Ein Beispiel allgemeinerer Art stellt der Fall 

 dar, wo eine gesuchte GroBe eine Funktion 

 zwar nur einer einzigen Variabeln ist, diese 

 aber in verschiedenen Potenzen enthalt, 

 jede mit einem geeigneten Koeffizienten ver- 

 sehen, also in Formel: 



F == a + bx + ex 2 + dx 3 ; 



es wiirde zur Not gentigen, fiir vier Werte 

 von x die zugehbrigen Werte von F zu 

 messen; man wiirde dann vier Gleichungen 

 von der Form der obigen erhalten, indem 

 man der Reihe nach die vier Wertepaare 

 fiir x und F einsetzt, und hieraus durch 

 Auflbsung die vier GroBen a, b, c, d er- 

 mitteln. Wie bemerkt, ist es aber besser 

 und nahezu unentbehrlich, statt der vier 

 Beobachtungen deren etwa acht anzustellen, 

 so daB man jetzt acht Einzelgleichungen be- 

 kommt; und die Methode der kleinsten 

 Quadrate lehrt nun, aus ihnen die vier 

 GroBen mit ihren wahrscheinlichsten Werten 

 abzuleiten, Werten, die, in die acht Einzel- 

 gleichungen eingesetzt, keine von ihnen 



genau bofriedigen wiirden, ini ganzen aber 

 doch am besten stimmen. Durch eine wei- 

 tere Formel findet man dann schlieBlich 

 den wahrscheinlichen Fehler jeder der vier 

 ermittelten GroBen. Das Verfahrea laBt 

 fur bestimmte Zwecke gewisse Vereinf a .-111111- 

 gen, fiir andere zweckmaBige Umgestal- 

 tungen zu und hat sich in alien diesen 

 Formen so bewahrt, daB es langst zum un- 

 entbehrlichen Hilfsmittel der Rechnung in 

 Physik, Astronomie, angewandter Mathe- 

 matik und vielen anderen Gebieten ge- 

 worden ist. 



Literatur. H. Poincare, Wissenschaft und 



Hypothese Leipzig 1904- F. Anerbacli, 



Kanon der Physik. Leipzig 1899. Pear- 

 son, Grammar of Science. London 1900. H. v. 

 Helmholtz, Vortn'ige und Reden. Braunschweig 

 - B. Weinstein, Handbuch d erphysikalischen 

 Mafibestimmungen. Berlin 1888. 2 Bdnde. F. 

 Kolilrauscti, Lehrbuch der praklischen Physik. 

 11. Aufl. Leipzig 1910. C. F. Gauss, Abhand- 

 lungen zur Methode der kleinsten Quadrate. Berlin 

 1877. M. Cantor, Theorie der Beobachtungs- 

 fehler. Leipzig 1891. J. D. Everett, Units and 

 physical Constants. London 1879. Czuber, 

 Theorie der Beobachtungsfehler. Leipzig 1891. 

 GHillaume, Unites et etalons. Paris 189S. 

 A. Czogler, Dimensionen und absolute MaJ3e, 

 Leipzig 1889. H. Herwig, Physikalische Be- 

 griffe und absolute MajSe. Leipzig 1880. 



F. Anerbach. 



Massendefekt nnd Masseniiberschufl. 



Anomalien in der Verteilung der Schwere 



der Erde. Durch Pendelmessungen wurde 



festgestellt, daB unter jedem Gebirge ein 



Massendefekt, unter jeder geologischen Ein- 



I senkung ein MasseniiberschuB vorhanden 



j ist (vgl. den Artikel ,,Gebirgsbildung"). 



Massenmessuug. 



1. Einheit. 2. Hebelwage. 3. Die gleich- 

 armige Wage. 4. Wageverfahren : a) Substi- 

 tutionsmethode nach Borda. b) Vertauschungs- 

 methode nach GauB. 5. Etalonnienuig von Ge- 

 wichtssatzen. 6. Reduktion der Wagungen auf 

 den leeren Raum. 7. Robervalsche Wage. 8. Un- 

 gleicharmige Hebelwagen: a) Schnellwage. b) 

 Briefwage. c) Briickenwage. 9. Federwage. 

 10. Poggendorffsche Wage. 11. Verwendung des 

 Wageprinzipes in verschiedenen Gebieten der 

 Physik: a) Laufgewichtsbarograph. b) Elektro- 

 metrische Wage, c) Elektrodynamische Wage, 

 d) Magnetische Wage. 



i. Einheit. Die Entstehung der heutigen 

 Masseneinheit ist aufs engste mit der Ent- 



