Duncker, Das Maft der Variabilitat. 571 



geringere Wahrscheinlichkeit ist, andere Varianten ; als die typische, dem 

 Durchschnitt entsprechende, innerhalb einer gegebeuen Individuenzahl an- 

 zutreffen. Diese Wahrscheinlichkeit aber ist weit weniger eine Fimktion 

 der Anzahl, als der Frequenz atypischer Varianten und sie findet daher 

 ihren zahlenmafiigen Ausdruck keineswegs in dem beobachteten Variations- 

 umfang, sondern, wie die Betrachtuug unserer mehrfach erwahnten Formel 



n 



klar erkennen laflt, in der Grofie des Variabilitatsindex e. Je grb'fier 

 derselbe ist, um so seltener werden relativ die typischen, mittleren, nnd 

 urn so haufiger die extremeren, atypischen Varianten,, d. h. um so variabler 

 ist das betr. Merkmal. 



Da somit der beobachtete Variation sumfang Zufallsfehlern stark aus- 

 gesetzt ist und obendreiu fur die Variabilitat eines Merkmals im eben 

 definierten Sinne bedeutungslos bleibt, diese beiden Nachteile aber dem 

 Variabilitatsindex nicht anhaften, so erscheint es ratsam, den letzteren, 

 wo immer eiue genligend grofie Anzahl (einige Hundert) von Beobach- 

 tuugen zu seiner Bestimmung vorliegt. entsprechend der statistischen 

 Methode als Mafi der Variabilitat eiues Merkmals anzuwenden. 



Der Variabilitatsindex hat den weiteren arithmetischen Vorzug, den 

 theoretisch wahrscheinlichen Variationsumfang eines Merkmals (im Sinne 

 B.'s) fur jede beliebige Individuenzahl unmittelbar anzugeben. Die zu 

 beobachtenden Varianten miissen uaturgemafi unter n Individuen mindestens 

 die Haufigkeit 1 aufweisen. Durch geeiguete Umformung erhalt man 

 dementsprechend als Grenzwert fur +. x nach obiger Formel 



Um x e T 2 Ln Y 



(Ln bedeutet Logarithmus naturalis). 



Folglich ist der Variationsumfang 



U = 2 Um x = 2 s r 2 Ln Y 



Der Variationsumfang ist hier somit unabhangig von den Zufallig- 

 keiten der Beobachfung nur durch die bei grb'fieren Beobachtungsreihen 

 praktisch nahezu fehlerfreie Grofie e bestimmt ; und bei dieser Be- 

 stimmung wird zugleich ausgedriickt, dass er teilweise eine Fuuktion der 

 (sei es untersuchten, sei es existierenden) Individ uenzahl ist 1 ). Das allein 

 aber ist eine logische Auffassung von dem Wesen der Variabilitat, dass 

 sie einerseits zwar eine der Formengemeinschaft anhaftende Eigenschaft 



1) Der Einfluss der Individuenzahl auf den Variationsumfang ergiebt sich 

 aus folgender Ueberlegung: Denkt man sich den WertY durch einen bestimmten 

 Exponenten c vennehrt oder vermindert, so ist 



y 



2 Ln (Yc) = U 



Untersucht man also nach dem ersten noch ein zweites Tausend von Individuen 

 derselben Formengemeinschaft, so erweitert sich der zuerst gefundene Varia- 

 tionsumfang theoretisch nur um das l,049fache. 



