Nr. 21. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



205 



Obwolil diese 92 Lsungen existiren, ist es doch sehr 

 schwer, auch nur eine einzige Lsung durch l'robiren zu 

 finden. Dieses begreift man, wenn man bedenkt, dass 

 die Zahlen von 1 bis 8, welche in den obigen Zahlen- 

 Gruppirungen auf 92 Arten zusammengestellt sind, sich 

 auf 1x2x3x4x5x6x7x8 = 40 320 Arten, ber- 

 haupt zusammenfassen lassen. 



Die obige Tabelle lsst sich genau in der angegebenen 

 Reihenfolge der 92 Lsungen, durch ein methodisches 

 Probiren auf folgende Weise finden. Man setzt zunchst eine 

 Knigin auf das unterste Feld der ersten Columne, die zweite 

 Knigin auf das unterste Feld von allen denjenigen Feldern 

 der zweiten Columne, die nun noch mglich sind, also 

 auf das dritte. Ebenso behandelt man jede weitere Co- 

 lumne. Dann wird man bald dazu kommen, kein Feld 

 einer Columne mehr zu finden, das nach den Bedingungen 

 der Aufgabe noch besetzbar wre. Man muss dann diesen 

 Versuch als gescheitert betrachten, und auf die zweite 

 Columne zurUckgeliend, das vierte statt des dritten Feldes 

 besetzen. Auch dieser Versuch wird scheitern, und man 

 whlt nun das fnfte Feld der zweiten Columne. Dieser 

 Versuch wird erst dann gelingen, wenn man in der 

 dritten Columne das achte Feld besetzt. So findet man 

 als erste Lsung schliesslich 15 863 724. Auch mit dem 

 sechsten Felde der zweiten Columne wird ein Versuch 

 gelingen. Bei der Besetzung des siebenten Feldes ergeben 

 sich dann zwei verschiedene Lsungen, dagegen gar keine 

 bei der Besetzung des achten F'eldes. So erhlt man die 

 4 Lsungen, bei denen das Feld links unten besetzt ist. 

 Genau so methodisch weiter probirend, beginnt man mit 

 dem zweiten Felde der ersten Columne, und erhlt 

 8 Lsungen, bis man schliesslich fr das achte Feld der 

 ersten Lsungen die 4 Lsungen erhlt, die in der obigen 

 Tabelle den Schluss bilden. Scharfsinniger als diese 

 Methode, die im wesentlichen nichts weiter als ein mit 

 Ordnungsliebe gepaartes Probiren ist, erweist sich die 

 von La Noe angegebene Methode, welcher von den 

 4 Feldern ausgeht, die um die Mitte gruppirt sind, dann 

 die 12 Felder betrachtet, die, diesen zunchst benachbart, 

 sie ringfrmig umgeben, u. s. w. So erhlt man ausser 

 dem Mittelquadrat noch drei Umzunungen nach aussen 

 hin, von bezvv. 12, 20, 28 Feldern. Besetzt man nun 

 eins der Felder des Mittelquadrats willkrlich, so erkennt 

 man sofort, dass die nchste Umzunung nur auf zwei- 

 fache Weise von zwei Kniginnen besetzbar ist. Probirt 

 man auf diese Weise weiter bis zu der ussersten Um- 

 zunung, so erhlt man die 92 Lsungen auf leichtere 

 und elegantere Art, als nach der ersten Methode. 



An das Problem der acht Kniginnen schliesst sich 

 die Frage an, welche sieben weitere Felder zu besetzen 

 sind, wenn schon ein willktirlich gewhltes Feld durch 

 eine Knigin besetzt ist. Bezeichnet (a b) ein Feld, das 

 von einer horizontalen Kante a, von der vertikalen Kante b 

 Felder weit abliegt, oder imigekehrt, so giebt es nur 4 L- 

 sungen, wenn die erste Knigin eins der 4 mit (11) zu be- 

 zeichnenden Eck-Felder besetzt bat, dagegen 8 fr (21) 

 als erstes Feld, und berhaupt ist die Zahl der Lsungen: 

 4 fr (11), 8 fr (21), 16 fr (31), 18 fr (41), 16 fr (22), 

 14 fr (32), 8 fr (42), 4 fr (33), 12 fr (43), 8 fr (44). 

 Bercksichtigt man, dass durch (11), (22), (33), (44) je 

 4 Felder, durch die brigen Klammern je 8 Felder be- 

 zeichnet werden, so erhlt man hiernach 4. (4 -1- 16 + 4 + 8) 

 plus 8. (8 + 16 + 18+14 + 8 + 12) = 736 als Lsungs- 

 summe. Dies lsst sich auch aus der Lsungszahl 92 des 

 Hauptproblems ableiten. Denn jede der 92 Lsungen 

 giebt zu 8 Lsungen in dem neuen Sinne Veranlassung, 

 und 92 mal 8 giebt in der That auch 736. 



Bisher haben wir immer nur von dem Problem der 

 acht Kniginnen auf den acht mal acht Feldern des 



eigentlichen Schachbretts gesprochen. Schon Gnther 

 und Glaisher haben jedoch das Problem auch fr weniger 

 quadratisch geordnete Felder behandelt. Fr 4 mal 4 ist 

 das Problem sehr leicht zu lsen. Es ergeben sich nur 

 die beiden Lsungen 2413 und 3142, welche einander 

 spiegelbildlich siiwl und dnreli die beiden folgenden Figuren 

 dargestellt werden : 



Fr fnf mal fnf Felder ergeben sich im Ganzen 

 10 Lsungen, nndich erstens 25 314 nebst iln-em Spiegel- 

 bilde, zweitens 53 142 nebst den sieben zugehrigen 

 Lsungen, die aus ihr durch Drehung und Spiegelung 

 entstehen. Eigentluindieh ist, dass fr 6 mal 6 Felder 

 die Zahl der Lsungen wieder herabsinkt. In diesem 

 Falle giebt es nmlich keine weiteren Lsungen als die 

 folgenden vier: 



3. 4. 



Bei sieben mal sieben Feldern wird die Lsungszahl 

 wieder gross, nmlich 40, und zwar haben zwei Lsungen 

 je nur drei zugehrige, whrend vier Lsungen je sieben 

 zugehrige Lsungen besitzen. Die ersteren beiden sind: 



5 724 613 und 3 724 615, 



whrend die vier letzteren durch die Zahlen-Gruppen: 



6 357 142, 4 613 572, 1357 246, 3 572 416 



darstellbar sind. 



Fr eine hhere Anzahl von Feldern als zehn mal 

 zehn, ist die genaue Lsungszahl bis jetzt noch nicht 

 bekannt. Vielleicht erwirbt sich einer unserer Leser das 

 Verdienst, das Problem der acht Kniginnen auf hhere 

 Felderzabi auszudehnen. P"'r 9 mal 9 und 10 mal 10 Felder 

 hat neuerdings Herr Delanmiy die 352 bezw. 724 Lsungen 

 aufgestellt. 



Schliesslich sei noch l)enierkt, dass man, mit Htilfe 

 unserer Bezeichnungsweise durch Zahlengruppen, unserm 

 Probleme auch eine rein arithmetische Fassung geben kann, 

 die es gestattet, von der Figur des Schachbretts ganz 

 abzusehen. Denkt man sich nnicb die Zahlen von 

 1 bis 8 in allen nKiglichen Anordnungen (Pennutationen) 

 geschrieben, so erhlt man 1x2x3x4x5x6x7x8 

 gleich 40 320 Gruppen. Diese Gruppen wrden die 

 smmtlichen Lsungen der Aufgabe darstellen, nicht acht 



