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Naturwissenschaftliehe Wochenschrift. 



Nr. 25. 



die Wahl eines kleineren Werthes von a + 1 ganz zweck- 

 los wre. Whlt man also + 1 = s-}- 1, so folgt 



+ 1 = 1 + 2 + + n + 1 = + + 1 = 2*' 4- 1 

 und daher 



+ 2 = n + l +1=2 (.s + 1)= 2 U +1. 

 Da nun nj = 1 ist, so ergiebt sich hiernach 

 =2-i. 



Man kann also aus der Reihe der Zahlen 

 1, 2, 4, . . . 2-i dureil Addition alle Zahlen von 

 1 bis 2 1 bilden. 



Verlangt man nun, dass sieh aus der Reihe der 

 Zahlen j, w^, . . . durch Addition und Subtraction 

 mglichst viele aufeinander folgende Zahlen zusammen- 

 setzen lassen sollen, so werde angenommen, dass "i, . . . " 

 der Forderung gemss bestimmt seien, alsdann muss 



('u + l 



1 = .3, + 1 zusammensetzen lsst. Dann 



i 1 



('n + 1 SO gewhlt werden, dass sich aus j, a.,, . 



n 



die Zahl y 

 kann sein: 



1) "n+\ '~- 1; eine Annahme, die uns auf die natr- 

 lichen Zahlen fhrt, also nicht weiter in Betracht kommt. 



2) an+\^^s + 1, falls nur Addition erlaubt wre; 

 dann kme man aber auf den oben erledigten Fall zurck. 



Wenn abei-, wie vorausgesetzt, auch Subtraction er- 

 laubt ist, so kann 



3) n + i SO gewhlt werden, dass ,+1 vermindert 

 um ein Aggregat 2' Ui der Zahlen a^, . . . die Zahl 

 s +1 liefert, d. h. dass 



K + i = H + 1 + -'ff; 



ist. Nun muss das Aggregat 2''; offenbar so bestimmt 

 werden, dass man mit demselben mglichst viele aufein- 

 anderfolgende Zahlen zusammensetzen kann, d. h. 



Es wird alsdann 



+ 1 



2' -4- 1 



also 



"n + 1 == 3 . -I- 1 ; 



mit Rcksicht auf den Wcrth i = 1 ergiebt sich also 

 du = 3-'. 

 Es lassen sich also alle Zahlen von 1 bis 



n 



2' 3' durch Addition und Subtraction aus den 



1 = 



Zahlen 1, 3, 9, 27, ... 3" zusammensetzen. 



Ist nun m eine beliebige Zahl, so kann man fragen, 

 welches die kleinste Zahl von Elementen ist, aus denen 

 sich alle Zahlen von 1 bis m durch Addition und Sub- 

 traction zusannnensetzen lassen. Man sieht nun leicht, 

 dass man die kleinste Zahl erhlt, wenn man n ans der 

 Bedingung 



^, (3- 



1) ^ m < I (3 1) 



besthnmt. 



A. Gutzmer. 



Aus dem wissenschaftlichen Leben. 



Die pliilosopliisclie Faciiltt der Gttinger Univer- 

 itt stellt fr das Jahr 1895 folgende Aufgabe fr den 

 Jeneke'achon Preis: Die philosophische Facultt wUnsi'ht 



Untersuchungen, welche in der Theorie der, von mehr als drei 

 Vernderlichen ahhiingigen allgemeinen Thetafunctionen einen 

 erheblichen Fortsehritt bilden." Bewerbungsschriften sind in deut- 

 scher, lateinischer oder franzsischer Sprache mit Motto und ver- 

 schlossener Namensangabe bis zum 31. August 1894 an den Decan 

 einzusenden. Der erste Preis betrilgt 1700Mk., der zweite G50 Mk. 



Die belgische Akademie der Wissenschaften zu 



Brssel hat die nachstehenden Preis auf gaben gestellt: 



Fr das Jahr 1893. I. Es soll die Summe der Lambert- 



X X- x^ 



sehen Reihe \- -I- -r- z -4- bestimmt werden. Oder 



1 X 1 X- 1 x-* 



wenn diese Summe in bestimmter Form nicht ausdrckbar ist, 

 soll die Difterentialgleichung anfgifir.ulen werden, von der sie 

 abhngt. 2. Es weixle ein wesontlichrr Beitrag geliefert zum 

 Studium der Beziehungen, die mau z'.'isciH'n den geometrischen 

 (irundelementen aufstellen k.T.nn. 3. Die Gleichungen der Ro- 

 tationsbewegung der festen Krdrim-Ie sind aufzustellen, unter Be- 

 rcksichtigung der usseren Wirkungen, der Reibung der Rinde 

 gegen den Hssigen Theil des Kornes unil der inneren Reactionen. 

 Die Art der Integrirung ist anzugeben, welche aut diese (ileichun- 

 gen angewendet werden knnte. 4 Gewnscht werden Unter- 

 suchungen ber die Reduction der Zahl der Chromosomen vor der 

 Befruchtung bei einem Thier oder einer Pflanze. 5. Neue Unter- 

 suchungen werden verlangt ber die belgische quaternre Flora 

 und besonders ber die Torf-Flora dieser Epoche. 6. Neue mor- 

 phologische Untersuchungen werden gewnscht, welche die Ph3lo- 

 genese eines grossen Zweiges der Wirbellosen aufklren knnen. 

 Einlieferungstermin bis zu dem 1. August 1893 



Fr das Jahr 1894. 1. Es sollen die verschiedenen Theorien 

 auseinandergesetzt und diseutirt werden, welche aufgestellt worden 

 sind zur Erklrung der Diffusion einer Flssigkeit in eine andere 

 Flssigkeit; neue Thatsachen sind beizubringen zur Sttze der 

 Wertlischtzung dieser Theorien. 2. (iewnscht wird die Aus- 

 einandersetzung und Kritik der verschiedenen Theorien, die vor- 

 geschlagen sind zur Erklrung der Constitution der Lsungen. 

 Durch neue Versuclie sind unsere Kenntnisse ber iliese Fr.age 

 zu vervollstndigen, namentlich in dem, was die Existenz von 

 Hydraten in wsserigen Lsungen betrifft. Einlieferungstermin 

 bis zum 31. Juli 1894. 



Der Preis fr jed(? der Aufgaben ist eine goldene Denkmnze 

 im Werthe von 600 Francs. Die Abhandlungen knnen fran- 

 zsisch, flmisch oder lateinisch abgefasst sein und sind mit Motto 

 und verschlossener Namensangabe an den bestndigen Secretr 

 nach Brssel im Palais des Academies zu senden. 



Dr. V. Erlanger hat 30 000 Mk. zur Ausstattung des zoologi- 

 schen Institutes in Heidelberg gespendet. 



Dr. Joh. Tliiele hat sich .an der Universitt Jena fr Chemie 

 habilitirt. Dr. W. Bruhns hat sich in Bonn fr Geologie 

 habilitirt. Der o. Prof. Dr. Tiemann ist zum pro vis. Leiter 

 des 1. chemischen Instituts der Universitt Berlin ernannt worden. 



Kustos Dr. Niedenzu am Botanischen Garten in Berlin zum 

 Prof. am Lyceum in Braunsberg ernannt worden. Dr. v. Hardtl 

 ist zum a. o. Prof. der theor. Astronomie an der Universitt 

 Innsbruck ernannt worden. 



Die Privatdocenten an der Universitt Erlangen Dr. Graser, 

 Assistent an der chirurgischen Klinik, und Dr. Paal, Assistent 

 am chemischen Institut, sowie der Director der biologischen 

 Station auf Helgoland Dr. Heincke sind zu Professoren er- 

 nannt worden. Seite 'l'Ii Spalte 1 der N. W." muss es von 

 Herder, niclit von Heider heissen. 



Es sind gestorben: Der Pflanzenzeichner Prof. Karl Friodr. 

 Schmidt in Berlin. Dr. Jos. Kleiber, Privatdocent der 

 Anatomie in Petersburg. Der Optiker Bruno Hasert in 

 Eisenach. Der Geograph Prof. Ed. Erslev in Kopenhagen. 

 Der Ornithologe Pater Blasius Huf zu Marialiof in Steiermark. 



Der Cieograpli P. Harme Witkamp zu Amsterdam. a.o.Prof. 

 der Histologie Dr. Del lach er in Innsbruck. In Prag der 

 ehemalige Prof. der Psychiatrie und gewesene Director der 

 Landes-Irrenanstalt Jacob Fischel. 



Der 20. deutsclie Aerztetag findet am 27 und 28. Juni \n 

 Leipzig statt. 



L i 1 1 e r a t u r. 



A. Wasmann, S. J., Die zusammengesetzten Nester und ge- 

 mischten Colonien der Ameisen. Ein Beitrag zur Biologie, 

 Psychologie und Entw icklungsgescliichte der Amoisongesell- 

 schaften. Mit 2 Tafeln und IG Figuren im Texte. VII und 

 262 Seiten. Verlag der Aschendortt"schen Buchdruckerei. Mn- 

 ster i. W., 1891. Preis 4 Mark. 



Wir hatten uns im Laufe des letzton Jahrzehnts daran ge- 

 whnt, stets mit kurzen Unterbrechungen Wasmann' s kleinere 

 oder grssere Abiiandlungon ber die mannigfaltigsten Lebens- 

 verhltnisse der Ameisen in die Hnde zu bekommen und mit 

 Interesse von ihnen Kenntniss zu nehmen. Behandeln sie doch 

 ein Gebiet aus dem Leben der kleinen Thierwelt, welches den 



