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Naturwissenscbaftliche Wochenschrift. 



Nr. 31. 



setzen, wenn jeder mit jedem andern einmal 

 zusaraniengespielt haben soll? Es ergiebt .sich sehr 

 leicht die folgende Vertheilung: 



1 2 3 



4 5 6 



7 8 9 



10 11 12 



13 14 15 



n 



1 4 7 



2 12 14 



3 11 15 



5 8 13 



6 9 10 



m 



1 10 13 



2 5 9 



3 6 8 



4 11 14 

 7 12 15 



IV 



1 5 14 



2 8 11 



3 7 10 



4 9 15 

 6 12 13 



9 12 



6 15 

 4 13 



7 11 



8 10 14 



VI 



6 11 



7 13 

 9 14 



8 12 

 10 15 



vn 



1 8 15 



2 4 10 



3 5 12 

 6 7 14 

 9 11 13 



den ersten Tag kann man die Zahlen in natrlicher 

 Reihenfolge schreiben, also: 



I 



Der nchste sich darbietende Fall verlangt das 

 Zusammensein von 5 Reihen zu je Dreien, oder was das- 

 selbe ist, von 5 Scattischcn mit je 3 Spielern. Denn 

 der Fall 4 Tische mit je Dreien" fllt aus, weil jeder 

 dann im ganzen mit elf Personen, an jedem Abend aber 

 mit zwei Personen zusannneuspieleu msste, was, da 2 in 

 11 nicht aufgeht, unmglich ist. 



Bei 5 Tischen mit je 3 Spielern, oder was auf das- 

 selbe hinauskommt, bei' 15 Pensionats-Damen, die in 5 

 Reihen zu je Dreien spazieren gehen sollen, ergeben sich 

 (14 dividiert durch 2) 7 Tage. Die Vertheilung ist hier 

 sehr viel schwerer, als in den frheren Aufgaben, und 

 mancher Leser wird, trotz aller (Geduld und trotz aller 

 .Mhen, keine Lsung selbststndig finden knnen. Bei 

 ordnungsmssigem Probieren wird man zwar bald die 

 ersten 4 oder 5 Tage erledigen knnen, dann aber wird 

 man finden, dass nun eine richtige Zusammenstellung fr 

 den sechsten und siebenten Tag nicht mehr mglich ist, 

 und die Nothweudigkeit erkennen, wieder von vorn an- 

 zufangen. Die nachfolgende Lsung wurde dem Ver- 

 fasser von dem jngst verstorbenen Hamburger Ma- 

 thematiker Wilhelm Lazarus mitgetheilt. Eine andere 

 Lsung gab Frost im Quaterly-Journal (Cambridge 1870). 



Vertheilung von 15 Scatspielern auf 5 Tische und 



7 Abende, sodass jeder jeden andern einmal 



zum Spielgenossen hat. 



Dieses ist eine von vielen Lsungen, die existieren 

 werden. Es ist gewiss eine sehr schwere Aufgabe, die 

 Anzahl aller wesentlich verschiedenen Lsungen mit der- 

 selben Bestimmtheit zu finden, wie dies beim Problem der 

 8 Kniginnen (siehe I) gelang. 



Die Flle, welche sich auf 7 oder noch mehr Reihen 

 zu je Dreien beziehen, sind bisher wohl berhaupt noch 

 nicht in Angriff genommen. Wohl aber erkennt man 

 bald, dass die Flle, wo n Reihen, und auch n Personen 

 in jeder Reihe verlaugt werden, sich methodisch behandeln 

 und deshalb leicht lsen lassen, nur muss n eine Prim- 

 zahl sein. Ist n = 2 oder = 3, so sind die Lsungen 

 fast selbstverstndlich und auch oben schon mitgetheilt. 

 Bei H = 4 ist die Aufgabe unlsbar, wie man durch 

 Probieren leicht erkennt." Bei = 5 aber lsst sich eine 

 Lsung in folgender Weise methodisch erkennen. Fr 



12 3 4 5 



6 7 8 9 10 

 11 12 13 14 15 

 16 17 18 19 20 

 21 22 23 24 25 



Da nun die Zahlen 1 bis 5 schon in derselben 

 Reihe zusammengewesen sind, so mssen sie an jedem 

 andern Tage in verschiedenen Reihen stehen, also 

 etwa untereinander geschrieben werden. Ebenso ist es 

 mit den Zahlen von 6 bis 10 u. s. w. Wenn man daher 

 die Zahlen in jeder Reihe nach der Grsse ordnet, so 

 muss an allen Tagen die erste Verl icalrei he die Zahlen 

 von 1 bis 5, die zweite die von 6 bis 10 u. s. w. ent- 

 halten. Man wird daher fr den zweiten Tag die Zahlen 

 wieder in natrlicher Reihenfolge, aber vertical schreiben, 

 nmlich so: 



II 



1 6 11 16 21 



2 7 12 17 22 



3 8 13 18 23 



4 9 14 19 24 



5 10 15 20 25 



Fr jeden folgenden Tag knnen nun die Zahlen 

 von 1 bis 5 wieder dieselben Pltze einnehmen. Was 

 die zweite Vertiealreihe angeht, so muss fr die vier noch 

 fehlenden Tage jede der Zahlen von 6 bis 10, aber mit 

 Ausschluss der 6, neben 1 stehen. Wir setzen daher der 

 Reihe nach fr den dritten bis sechsten Tag die Zaien 

 7 bis 10 neben 1. Wenn wir dann immer in natrlicher 

 Reihenfolge nach unten weiterschreiben, so kommt auch 

 jede der Zahlen von 6 bis 10 gerade einmal mit jeder 

 der Zahlen von 1 bis 5 zusammen. In die dritte Vertieal- 

 reihe des dritten Tages darf nun oben jede der Zahlen 

 von 11 bis 15, aber init Ausschluss der 11 und 12, .stehen. 

 Wir setzen daher 13 oben hin und sehreiben vertical 

 nach unten in natrlicher Reihenfolge, auf 15 wieder 11 

 folgen lassend. So fortfahrend, erkennt man, dass die 

 erste Horizontalreihe des dritten Tages mit der Diagonal- 

 reihe des zweiten Tages bereinstimmen muss, woraus 

 sich dann die Gruppierung am dritten Tage leicht ergiebt. 

 In derselben Weise lsst sich die Vertheilung am vierten 

 Tage aus der am dritten Tage ableiten, u. s. w. So er- 

 hlt man fr den dritten bis sechsten Tag: 



In der That kommt nun in den 6 Zusammenstellungen 

 jede Zahl mit jeder andern eimnal zusammen in der- 

 selben Horizontalreihe vor. Der mathematisch gebildete 

 Leser wird auch den inneren Grund dafr erkennen, dass 

 die befolgte Methode jede Zahl jeder andern einmal zu- 

 ordnen muss. Der Grund besteht darin, dass fnf eine 

 Primzahl ist. Dieselbe Methode fhrt daher nicht bei 

 n = 4 und = 6, wohl aber bei = 7 zum Ziel. Es 

 bietet gar keine Schwierigkeit, die bei = 7 resultierenden 

 8 (nmlich: 48 dividiert durch (5) Gruppierungen nach der 

 obigen Methode hinzusehreiben.*) 



*) Wird fortgesetzt. 



