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Naturwisscnsi'haftlicbc Wocheiiscliriit. 



Nr. 42. 



Wenn man nun den Springer irgend einen Sechszehn- 

 Sprung so machen isst, da.ss derselbe nach Al)solvirung 

 desselben zu einem anderen Sechszehn-.Sprung bergehen 

 kann, so erhlt man stets richtige geschlossene Rssel- 

 sprnge , die sich berdies durch eine gewisse Sym- 

 metrie und Regelmssigkeit auszeichnen, die sofort hervor- 

 tritt, wenn man solche Rsselsprnge ebenso graphisch 

 darstellt, wie dies die Unterhaltungs-Zeitscbriften bei den 

 Lsungen der von ihnen gestellten Rsselsprungs -Auf- 

 gaben thun. Als Beispiel diene der folgende Rssel- 

 sprung, bei welchem die Typen der vier aufeinander- 

 folgenden Sechszehn-Sprnge C, D, A, ]> sind: 



Bei diesem Rsselsprung sind die 16 Felder jedes 

 Sechszehn -Sprungs in solcher Reihenfolge durchschritten, 

 dass inuner erst die 4 Felder jedes Viersprungs nach ein- 

 ander besucht sind. Es ist dies jedoch durchaus nicht 

 erforderlich, wie der folgende Rsselsprung zeigt, der 

 auch die Typenfolge C D A B hat, bei dem aber in jedem 

 der vier Sechszehn-Sprnge zunchst immer nur drei 

 Felder jedes Theif-Quadrats besetzt und dann erst die aus- 

 gelassenen Felder absoivirt sind: 



Es setzt sich dieser Rsselsprung also wohl aus 

 4 Scchszehn-Sprngen, aber nicht aus 16 Vier-Sprngen 

 zusammen. Was aber die aus vollstndig absolvirten Vier- 

 Sprngen bestehenden Rsselsprunge anbetrifft, so lassen 

 sich dieselben auf folgende Weise "schematisch darstellen. 

 Man hnge den Zeichen a, b, c, d fr die \ ier Arten von 

 Vier- Sprngen die Zahlen 1, 2, 3, 4 als Indices an, je 

 nachdem der Vier-Sprung in dem Thcil-Quadrat oben links, 

 oben rechts, unten rechts oder unten links gemeint ist. 



Dadui'ch Isst sieh z. B. der erste von den beiden obigen 

 Rsselsprngen aiil' folgende Weise sehematisch dar- 

 stellen : 



Ci Co c, C4 d| do d;j d^ iXj a^ a^ Hi bo b;. b^ b, . 



Hat man nun umgekehrt ein solches Schema und 

 zugleich das Anfangsfeld, so ist der ganze Lauf des Rssel 

 Sprungs eindeutig bestinnnt, weil die angehngten Indices 

 angeben, in weleiies Theil-(juadrat man nach Absolvirung 

 eines Vier-Sprungs gelangen niuss und dadurch ber die 

 Reihenfolge der Besetzung der Felder eines Vier-Sprungs 

 kein Zweifel entstehen kann. Ist nur das Schema, nicht 

 aber das Anfangsfeld gegeben, so kann man zu zwei ver- 

 schiedenen Rsselsprngen gelangen. Vielleicht iiiteressii-t 

 es den Leser, aus den folgenden Schemas die zugehri- 

 gen, aus Vier-Sprngen bestehenden Rsselsprngen selbst 

 zu formircn, wobei man beachte, dass aus jedem Schema 

 zwei folgen: 



Ci Cj Cg C2 d, d^ d;j d.3 ao a.^ si^ a., bj bj bi b-j, 

 Cj C4 C:j C2 d, d^ dg d, a^ ag a2 ai b4 bg h., b, , 

 c, Co C;j Cj dg d.j dj d^ a^ ag a^ aj b^ bj bo bg. 



Wenn man die Reihenfolge der 16 Zciclien in jedem 

 dieser drei Scliemas unverndert Isst und nur den An- 

 fang wechselt, also statt des ersten Schemas etwa 



ao a, a4 ag b , b, 1)4 bg Ci C4 Cg Co d, 114 dg d_, 



schreibt, so erhlt man Rsselsprnge, welche zu den 63 

 gehren, die aus dem geschlossenen Rsselsprunge des 

 ursprnglichen Schema durch Wechsel des Anfangsfeldes 

 abgeleitet werden knnen. 



In den obigen Beispielen sind immer die vier Vier- 

 Sprnge eines und desselben Typus nach einander wieder- 

 holt und dadurch Sechszehn-Sprnge gebildet. Man ge- 

 langt jedoch bei einiger Aufmerksamkeit auch dann leicht 

 zu richtigen Rsselsprngen, wenn man immer nach Ab- 

 solvirung eines Vier-Sprungs zu einem neuen Vier-Sprung 

 bergeht, unbekmmert, ob derselbe von gleichem oder 

 von verschiedenem Typus ist. Bei dem folgenden Schema 

 eines richtigen Rsselsprungs ist z. B. jeder Typus immer 

 nur zweimal wiederholt: 



a4 ag bo bi Cg C4 dg do ao a, b4 bg Cj c, d, d4. 



Wenn man sich diesen Rsselsprung graphisch dar- 

 stellt, erkennt man, dass derselbe ceutralsymme frisch 

 ist, indem die Verbindungslinie je zweier Felder, deren 

 Zahlen sich um 32 uuterseheideu, durch die Mitte des 

 Schachbretts geht und von dieser halbirt wird. 



Die auf solche Weise auffindbaren Rsselsprnge 

 zeichnen sich zwar vor allen brigen durch Symmetrie 

 und Eleganz aus, sie bilden aber doch nur eine sehr 

 kleine Gruppe in der Gesammtheit aller mglichen ge- 

 schlossenen Rsselsprnge und knnen deshalb in keiner 

 Weise einen ISeitrag zur Lsung der Hauptfrage liefern, 

 welche eine Bildungsmethode verlangt, die von vornherein 

 zu allen mglichen Rsselsprngen fhrt und dadurch 

 auch eine Berechnung ihrer Anzahl gestattet. Wohl aber 

 vermindern sich diese Schwierigkeiten, wenn man statt 

 des Schachbretts mit seinen acht mal acht Feldern ein 

 Quadrat oder Rechteck mit weniger Feldern zu Grunde 

 legt. In dieser Forschungsrichtung ist am weitesten Herr 

 Flye-Sainte-Marie gekommen, dem es gelungen ist, die 

 soeben erwhnte Hauptfrage zunchst fr die aus 4 mal S 

 Feldern bestehende Hlfte des Schachbretts vollstndig 

 zu erledigen. Seine diesbezgliche Untersuchung ist im 

 Aprillieft des Jahrgangs 1877" des Bulletin de la Societc 

 Mathematique de France niedergelegt. Er theilt zunchst 

 die 32 Felder des halben Sehachbretts in zwei Gruppen 

 von je 16, wie die folgende Figur zeigt: 



