Nr. 30. 1909. 



Naturwissenschaftliche Rundschau. 



XXIV. Jahrg. 383 



metrie, der dritte die Trigonometrie, der vierte die Stereo- 

 metrie. 



Wer die wissenschaftlichen Arbeiten des Herrn 

 Schwering kennt, wird eich nicht wundern, daß der 

 arithmetische Teil am reichlichsten bemeBsen ist, und daß 

 hier manche wertvolle Bereicherung für den Schulunter- 

 richt zu finden ist. Schon der Aufbau der Grundbegriffe 

 der Arithmetik, bekanntlich eine viel umstrittene Frage, 

 wird ein allgemeineres Interesse beanspruchen. „Die Grund- 

 lagen der Arithmetik sind einer Darstellung unterzogen, 

 welche in aller Strenge die Permanenz der formalen 

 Gesetze als leitendes Gesetz durchführt, aber nachdrück- 

 lich auf begleitende Anschauungsbilder hinweist, welche 

 den Unterricht namentlich auf unteren Klassen zu beleben 

 geeignet sind. Die irrationale Zahl ist einmal als nicht 

 durch einen Bruch ganzer Zahlen darstellbar, gewisser- 

 maßen von der negativen Seite her eingeführt; dann ist 

 ihre Einordnung in die Zahlenreihe durch den Dede- 

 kind sehen Schnitt vollzogen, und endlich ist der Ver- 

 such gemacht, die quadratische Irrationalität gegenüber 

 höheren Bereichen als eine festumschriebene und deutlich 

 erkennbare Zahlengattung herauszuheben. Dieser Schritt 

 ist für die beiden berühmten Probleme der Würfelver- 

 doppelung und der Winkeldreiteilung entscheidend. Das 

 Beweisverfahren selbst ist in seinen Grundlinien angedeutet; 

 dagegen ist jede sich bietende Gelegenheit benutzt, 

 um durch quadratische Gleichungen Näherungslösungen 

 höherer Aufgaben zu erzielen. Dadurch wird nach An- 

 sicht des Verf. dem Unmöglichkeitsbeweise eine bedeut- 

 same Ergänzung hinzugefügt, die zugleich im Sinne der 

 Faßlichkeit den Unterricht günstig beeinflussen kann." 

 Zu diesen Ausführungen im Vorworte möge ergänzend 

 bemerkt werden, daß die Lösung der Gleichungen eine 

 gründliche und ausführliche Darstellung gefunden hat. 

 Wir weisen auf die Lösung der binomischen Gleichung, 

 einschließlich x" = 1, auf die systematische Behandlung 

 der kubischen und biquadratischeu Gleichungen sowie 

 auf die Lösungen höherer Gleichungen durch Näherungs- 

 methoden besonders hin. Wenn auf diesem Gebiete der 

 Algebraiker Schwering zu Worte kommt, so zeigt sich 

 der Zahlentheoretiker Schwering bei der Darstellung 

 der diophantischen Analysis in hellem Lichte. Die Ver- 

 wendung der Kettenbrüche bei der Lösung bezüglicher 

 Aufgaben, insbesondere der Peitschen Gleichung, wird 

 ausführlich gelehrt, und bei der Behandlung einzelner 

 diophantischer Gleichungen zweiten Grades kommt der 

 Verf. bis auf sein Lieblingsthema, die Beziehung dieser 

 Theorie zu derjenigen der elliptischen Funktionen. 



Während der erste Teil 169 Seiten umfaßt, werden 

 die drei anderen auf 234 Seiten erledigt. Die elementare 

 Geometrie mit ihren drei Teilen: der Planimetrie, der 

 Trigonometrie und der Stereometrie, wird in dein Um- 

 fange behandelt, wie dies im Schulunterricht geschehen 

 kann, natürlich immer mit Ausblicken auf passende 

 Erweiterungen. Die analytische Geometrie als besonderes 

 Gebiet ist ausgeschlossen; da aber das Buch für Lehrer 

 bestimmt ist, die mit den Methoden der analytischen 

 Geometrie natürlich vertraut sein müssen, wird an vielen 

 Stellen auf Formeln und Beziehungen der analytischen 

 Geometrie hingewiesen. Damit hängt auch die Abweisung 

 der Vorzeichen von Strecken zusammen, obgleich die Ein- 

 führung dieser Vorzeichen ganz von selbst sich aufdrängt 

 bei den Sätzen des Menelaos und Ceva, sowie bei den 

 Werten des Doppelverhältnisses , das nicht mit diesem 

 deutschen Namen nach Möhius und Steiner benannt 

 ist, sondern als anharmonische Funktion im Anschluß an 

 Chasles erscheint. Die Benennungen Inversion oder 

 Transformation durch reziproke Radien, die jetzt inter- 

 national sind, werden dagegen durch den ungewöhnlichen 

 Ausdruck ersetzt: „Umgekehrte Abbildung", unterschieden 

 in „gleichsinnige" und „ungleichsinnige". Um nicht zu 

 lang zu werden, müssen wir es unterlassen, die ver- 

 schiedenen, dem Verf. eigentümlichen hübscheu geo- 

 metrischen Betrachtungen besonders aufzuführen. Jeder 



Lehrer, der lange Jahre seinen Unterrichtsstoff selbst- 

 denkend und nachschaffend durchgearbeitet hat, wird 

 einem anderen Lehrer manche Seiten eines Gegenstandes 

 zeigen können, deren Anblick weniger allgemein bekannt 

 ist, aber anregend und befruchtend wirkt, ohne daß 

 damit der Gegenstand allseitig beleuchtet wäre. So würde 

 auch der Ref. aus seiner 25 jährigen, 1889 abgeschlossenen 

 Tätigkeit als Oberlehrer zu manchen Dingen ergänzende 

 Beiträge liefern können. Die Hauptsache ist, daß ein 

 deutscher Lehrer von der Bedeutung des Herrn Schwering, 

 der im besten Sinne des Wortes ein Schulmeister ist, 

 in dem vorliegenden Buche zeigt, wie er die Aufgabe des 

 Mittelschulunterrichts in der Mathematik auffaßt und 

 aufgefaßt hat, bevor die heutigen Neuerer im In- und 

 Auslande ihr Anathema gegen die alten Lehrer ge- 

 schleudert hatten. Das Buch sei allen praktischen Lehrern ' 

 der Mathematik warm empfohlen. E. Lampe. 



A. Winkelmann: Handbuch der Physik. 2. Aufl. 

 2. Bd: Akustik. Mit 367 Abb. (Leipzig 1909, Verlag 

 von Johann Ambrosius Barth.) 



Die vorliegende „Akustik" bildet den 2. Band, der nun 

 vollständig erschienenen 2. Auflage des Handbuches der 

 Physik. Da sie in allen ihren Teilen von Herrn F. Auer- 

 bach bearbeitet ist, bietet sie ein in sich geschlossenes 

 Ganze und hat auch gesondert von den übrigen Bänden 

 für die an diesem Gebiet Interessierten den Wert eines 

 vorzüglichen Lehrbuches, besonders da die deutsche 

 Literatur kein neueres systematisches Lehrbuch der 

 Akustik besitzt. 



In den beiden ersten Kapiteln werden die Gesetze der 

 Schwingungen und Wellenbewegungen ganz allgemein be- 

 handelt. Das o. Kapitel bringt die spezielle Formulie- 

 rung dieser Gesetze für akustische Erscheinungen; die fol- 

 genden Abschnitte stellen dann gewissermaßen nur Anwen- 

 dungen der abgeleiteten Gesetze auf tönende Körper dar. 



In allen Teilen ist nicht nur die außerordentliche 

 Klarheit der Darstellung, sondern auch die Reichhaltig- 

 keit der dargestellten Tatsachen hervorzuheben. So findet 

 sich in dem Abschnitt über „Töne von Gasen und Flüssig- 

 keiten" ein eigenes Kapitel: „Besondere Arten von Tönen", 

 das eine ausführliche Erörterung der Flammen- und 

 Netztöne und im Anschluß hieran die singende Bogen- 

 lampe gibt. Von besonderem Interesse sind auch die 

 verschiedenen älteren und neueren Theorien über das 

 Wesen der Harmonie und Melodie. Den Schluß bildet 

 die physiologische Akustik, der als Grundlage eine kurze 

 anatomische Beschreibung des Gehörorgans vorange- 

 schickt ist. 



Mit diesem Band hat die 2. Auflage einen würdigen 

 Abschluß gefunden. Es ist kaum nötig, dem Handbuch 

 der Physik eine Empfehlung mit auf den Weg zu geben, 

 da sich schon seine 1. Auflage als Nachschlagewerk den 

 Fachkreisen unentbehrlich gemacht hat. Die zweite, so stark 

 erweiterte und vom Verlag glänzend ausgestattete Auf- 

 lage kann daher um so sicherer auf die wohlverdiente 

 günstige Aufnahme rechnen. Meitner. 



Ernst Bryk : Kurzes Repetitorium der Chemie zum 

 Gebrauch für Mediziner, Pharmazeuten, 

 Lehramtskandidaten, Chemiker, Landwirte 

 und andere, nach den Werken und Vorlesun- 

 gen von Arnold, Bernthsen, Erdmann, 

 Fischer, Gorup-Besan ez, Graham-Otto, 

 Hager, Krafft, Ludwig, E. v. Meyer, Nernst, 

 Ostwald, Pinner, Remsen, Richter, Roscoe, 

 Schorlemmer, Schmidt und anderen gear- 

 beitet. I. Anorganische Chemie. (Breitensteins 

 Repetitorien , Nr. 7). Fünfte, vermehrte und ver- 

 besserte Auflage. Preis 2,40 Ji, geb. 2,85 J&. (Leipzig 

 1908, Johann Ambrosius Barth.) 

 Wenn ein Repetitorium bereits in fünfter Auflage 

 vorliegt, so ist dies ein Beweis, daß es den Zweck, den 

 der Verf. damit erreichen will, erfüllt. Es bringt in ge- 



