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Maxwell's 1 ) Untersuchungen dargestellt werden kann, als die 

 Mischung dreier Grundfarben, von deren jeder ein bestimmtes 

 Quantum anzuwenden ist. Mit dem Farbenkreisel kann man 

 solche Mischungen und Abmessungen wirklich ausfhren. 



Ebenso knnten wir das Reich der einfachen Tne 2 ) als eine 

 Mannigfaltigkeit von zwei Dimensionen betrachten, wenn wir sie 

 nur nach Tonhhe und Tonstrke verschieden nehmen und die 

 Verschiedenheiten der Klangfarbe bei Seite lassen. Diese Ver- 

 allgemeinerung des Begriffes ist sehr geeignet, um hervortreten 

 zu lassen, wodurch sich der Raum von anderen Mannigfaltigkeiten 

 dreier Dimensionen unterscheidet. Wir knnen, wie Sie alle aus 

 alltglicher Erfahrung wissen, im Rume den Abstand zweier 

 ber einander gelegener Punkte vergleichen mit dem horizontalen 

 Abstnde zweier Punkte des Fussbodens, weil wir einen Maassstab 

 bald an das eine, bald an das andere Paar anlegen knnen. Aber 

 wir knnen nicht den Abstand zweier Tne von gleicher Hhe und 

 verschiedener Intensitt vergleichen mit dem zweier Tne von 

 gleicher Intensitt und verschiedener Hhe. Riemann zeigte 

 durch Betrachtungen dieser Art, dass die wesentliche Grundlage 

 jeder Geometrie der Ausdruck sei, durch welchen die Entfernung 

 zweier in beliebiger Richtung von einander liegender, und zwar 

 zunchst zweier unendlich wenig von einander entfernter Punkte 

 gegeben wird. Fr diesen Ausdruck nahm er aus der analytischen 

 Geometrie die allgemeinste Form 3 ), welche derselbe erhlt, wenn 

 man die Art der Abmessungen, durch welche der Ort jedes Punktes 

 gegeben wird, ganz beliebig lsst. Er zeigte dann, dass diejenige 

 Art der Bewegungsfreiheit bei unvernderter Form, welche den 

 Krpern in unserem Rume zukommt, nur bestehen kann, wenn 

 gewisse, aus der Rechnung hervorgehende Grssen 4 ), die bezogen 

 auf die Verhltnisse an Flchen sich auf das Gauss' sehe Maass 

 der Flchenkrmmung reduciren, berall den gleichen Werth haben. 

 Eben deshalb nennt Riemann diese Rechnungsgrssen, wenn sie 

 fr eine bestimmte Stelle nach allen Richtungen hin denselben 

 Werth haben, das Krmmungsmaass des betreuenden Raumes an 



!) Siehe Bd. I, S. 307. 



2 ) Siehe Bd. I, S. 141. 



3 ) Nmlich fr das Quadrat des Abstandes zweier unendlich naher Punkte 

 eine homogene Function zweiten Grades der Differentiale ihrer Coordinaten. 



4 ) Es ist ein algebraischer Ausdruck, zusammengesetzt aus den Coeffi- 

 cienten der einzelnen Glieder in dem Ausdruck fr das Quadrat der Ent- 

 fernung zweier benachbarter Punkte und deren Differentialquotienten. 



v. Heimholt/, Vortrae und Reden. IT. O 



