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Abmessungen seine Coordinaten. Die Anzahl der im Allgemeinen 

 zur vollstndigen Bestimmung der Lage eines jeden Punktes 

 nthigen Coordinaten bestimmt die Anzahl der Dimensionen des 

 betreffenden Raumes. Es wird weiter vorausgesetzt, dass bei 

 Bewegung des Punktes A sich die als Coordinaten gebrauchten 

 Raumgrssen continuirlich verndern. 



Zweitens ist die Definition eines festen Krpers, beziehlich 

 festen Punktsystems zu geben, wie sie nthig ist, um Vergleichung 

 von Raumgrssen durch Congruenz vornehmen zu knnen. Da wir 

 hier noch keine speciellen Methoden zur Messung der Raumgrssen 

 voraussetzen drfen, so kann die Definition eines festen Krpers 

 nur erst durch folgendes Merkmal gegeben werden: Zwischen den 

 Coordinaten je zweier Punkte, die einem festen Krper angehren, 

 muss eine Gleichung bestehen, die eine bei jeder Bewegung des 

 Krpers unvernderte Raumbeziehung zwischen den beiden Punkten 

 (welche sich schliesslich als ihre Entfernung ergiebt) ausspricht, 

 und welche fr congruente Punktpaare die gleiche ist. Congruent 

 aber sind solche Punktpaare, die nach einander mit demselben 

 im Rume festen Punktpaare zusammenfallen knnen. 



Trotz ihrer anscheinend so unbestimmten Fassung ist diese 

 Bestimmung usserst folgenreich, weil bei Vermehrung der Punkt- 

 zahl die Anzahl der Gleichungen viel schneller wchst, als die 

 Zahl der durch sie bestimmten Coordinaten der Punkte. Fnf 

 Punkte, J., J5, C, D, E, geben zehn verschiedene Punktpaare: 



AB, AC, AD, AE, 

 BC,BD,BE, 

 CD, GE, 

 DE, 

 also zehn Gleichungen, die im Rume von drei Dimensionen fnf- 

 zehn vernderliche Coordinaten enthalten, von denen aber sechs 

 frei verfgbar bleiben mssen, wenn das System der fnf Punkte 

 frei beweglich und drehbar sein soll. Es drfen also durch jene 

 zehn Gleichungen nur neun Coordinaten bestimmt werden, als 

 abhngig von jenen sechs vernderlichen. Bei sechs Punkten be- 

 kommen wir fnfzehn Gleichungen fr zwlf vernderliche Grssen, 

 bei 7 Punkten 21 Gleichungen fr 15 Grssen u. s. w. Nun 

 knnen wir aber aus n von einander unabhngigen Gleichungen 

 n darin vorkommende Grssen bestimmen. Haben wir mehr als 

 n Gleichungen, so mssen die berzhligen selbst herzuleiten sein 

 aus den n ersten derselben. Daraus folgt, dass jene Gleichungen, 

 welche zwischen den Coordinaten jedes Punktpaares eines festen 



