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Rume bertragen werden knnen. Diese Untersuchung ist von 

 Herrn Lipschitz 1 ) in Bonn durchgefhrt worden. Es lsst sich 

 in der That der zusammenfassende Ausdruck aller Gesetze der 

 Dynamik, das Hamilton' sehe Princip, direct auf Rume, deren 

 Krmmungsmaass nicht gleich Null ist, bertragen. Also auch 

 nach dieser Seite hin verfallen die abweichenden Systeme der 

 Geometrie in keinen Widerspruch. 



Wir werden nun weiter zu fragen haben, wo diese besonderen 

 Bestimmungen herkommen, welche unseren Raum als ebenen 

 Raum charakterisiren , da dieselben, wie sich gezeigt hat, nicht 

 in dem allgemeinen Begriff einer ausgedehnten Grsse von drei 

 Dimensionen und freier Beweglichkeit der in ihr enthaltenen 

 begrenzten Gebilde eingeschlossen sind. Denk not h wendig- 

 keiten, die aus dem Begriff einer solchen Mannigfaltigkeit und 

 ihrer Messbarkeit, oder aus dem allgemeinsten Begriff eines festen 

 in ihr enthaltenen Gebildes und seiner freiesten Beweglichkeit 

 herfiiessen, sind sie nicht. 



Wir wollen nun die entgegengesetzte Annahme, die sich ber 

 ihren Ursprung machen lsst, untersuchen, die Frage nmlich, ob 

 sie empirischen Ursprungs seien, ob sie aus Erfahrungstat- 

 sachen abzuleiten, durch solche zu erweisen, beziehlich zu prfen 

 und vielleicht auch zu widerlegen seien. Diese letztere Eventualitt 

 wrde dann auch einschliessen, dass wir uns Reihen beobachtbarer 

 Erfahrungsthatsachen mssten vorstellen knnen, durch welche 

 ein anderer Werth des Krmmungsmaasses angezeigt wrde, als 

 derjenige ist, den der ebene Raum des Euklid es hat. Wenn aber 

 Rume anderer Art in dem angegebenen Sinne vorstellbar sind, 

 so wre damit auch widerlegt, dass die Axiome der Geometrie 

 nothwendige Folgen einer a priori gegebenen transcen dentalen 

 Form unserer Anschauungen im Kant' sehen Sinne seien. 



Der Unterschied der Euklid'schen, sphrischen und pseudo- 

 sphrischen Geometrie beruht, wie oben bemerkt, auf dem Werthe 

 einer gewissen Constante, welche Riemann das Krmmungsmaass 

 des betreffenden Raumes nennt, und deren Werth gleich Null sein 

 muss, wenn die Axiome des Euklides gelten. Ist sie nicht gleich 

 Null, so wrden Dreiecke von grossem Flcheninhalte eine andere 

 Winkelsumme haben mssen, als kleine, erstere im sphrischen 



*) Untersuchungen ber die ganzen homogenen Functionen von n Diffe- 

 rentialen. Borchardt's Journal fr Mathematik, Bd. LXX, S. 71 und 

 Bd. LXXII, S. 1. Untersuchung eines Problems der Variationsrechnung, 

 ebendas., Bd. LXXIV. 



