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schauung meiner nicht mathematischen Zuhrer nher zu rcken, 

 ohne doch Verwechselungen zu veranlassen. 



Wenn nun Wesen dieser Art auf einer unendlichen Ebene 

 lebten, so wrden sie genau dieselbe Geometrie aufstellen, welche 

 in unserer Planimetrie enthalten ist. Sie wrden behaupten, dass 

 zwischen zwei Punkten nur eine gerade Linie mglich ist, dass 

 durch einen dritten, ausserhalb derselben liegenden Punkt nur 

 eine Parallele mit der ersten gefhrt werden kann, dass brigens 

 gerade Linien in das Unendliche verlngert werden knnen, ohne 

 dass ihre Enden sich wieder begegnen, und so weiter. Ihr Piaum 

 knnte unendlich ausgedehnt sein, aber auch, wenn sie an Grenzen 

 ihrer Bewegung und Wahrnehmung stiessen, wrden sie sich 

 eine Fortsetzung jenseits dieser Grenzen anschaulich vorstellen 

 knnen. In dieser Vorstellung wrde ihnen ihr Raum unendlich 

 ausgedehnt erscheinen, gerade wie uns der un serige, obgleich auch 

 wir mit unserem Leibe nicht unsere Erde verlassen knnen, 

 und unser Blick nur so weit reicht, als sichtbare Fixsterne vor- 

 handen sind. 



Nun knnten aber intelligente Wesen dieser Art auch an 

 der Oberflche einer Kugel leben. Ihre krzeste oder geradeste 

 Linie zwischen zwei Punkten wrde dann ein Bogen des grssten 

 Kreises sein, der durch die betreffenden Punkte zu legen ist. 

 Jeder grsste Kreis, der durch zwei gegebene Punkte geht, zer- 

 fllt dabei in zwei Theile. Wenn beide ungleich lang sind, ist der 

 kleinere Theil allerdings die einzige krzeste Linie auf der Kugel, 

 die zwischen diesen beiden Punkten besteht. Aber auch der 

 andere grssere Bogen desselben grssten Kreises ist eine 

 geodtische oder geradeste Linie, d. h. jedes kleinere Stck des- 

 selben ist eine krzeste Linie zwischen seinen beiden Endpunkten. 

 Wegen dieses Umstandes knnen wir den Begriff der geodtischen 

 oder geradesten Linie nicht kurzweg mit dem der krzesten Linie 

 identificiren. Wenn nun die beiden gegebenen Punkte Endpunkte 

 desselben Durchmessers der Kugel sind, so schneiden alle durch 

 diesen Durchmesser gelegten Ebenen Halbkreise aus der Kugel- 

 che, welche alle krzeste Linien zwischen den beiden End- 

 punkten sind. In einem solchen Falle giebt es also unendlich 

 viele unter einander gleiche krzeste Linien zwischen den beiden 

 gegebenen Punkten. Somit wrde das Axiom, dass nur eine 

 krzeste Linie zwischen zwei Punkten bestehe, fr die Kugel- 

 bewohner nicht ohne eine gewisse Ausnahme giltig sein. 



Parallele Linien wrden die Bewohner der Kugel gar nicht 



