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Linien und Winkel, frei verschieben lassen, und dass dies nicht 

 auf jeder Art von Flche der Fall sein wird. Die Bedingung 

 dafr, dass eine Flche diese wichtige Eigenschaft habe, hatte 

 schon Gauss in seiner berhmten Abhandlung ber die Krm- 

 mung der Flchen nachgewiesen. Die Bedingung ist, dass das, 

 was er das Maass der Krmmung" genannt hat (nmlich der 

 reciproke Werth des Productes der beiden Hauptkrmmungs- 

 radien), berall lngs der ganzen Ausdehnung der Flche gleiche 

 Grsse habe. 



Gauss hat gleichzeitig nachgewiesen, dass dieses Maass der 

 Krmmung sich nicht verndert, wenn die Flche gebogen wird, 

 ohne dabei in irgend einem Theile eine Dehnung oder Zusammen- 

 ziehung zu erleiden. So knnen wir ein ebenes Papierblatt zu 

 einem Cylinder oder einem Kegel (Dte) aufrollen, ohne dass 

 die lngs der Flche des Blattes genommenen Abmessungen seiner 

 Figuren sich verndern. Und ebenso knnen wir die halbkugel- 

 frmige geschlossene Hlfte einer Schweinsblase in Spindelform 

 zusammenrollen, ohne die Abmessungen in dieser Flche selbst 

 zu verndern. Es wird also auch die Geometrie auf einer Ebene 

 dieselbe sein wie in einer Cylinderflche. Wir mssen uns nur 

 im letzteren Falle vorstellen, dass unbegrenzt viele Lagen dieser 

 Flche, wie die Lagen eines umgewickelten Papierblattes, ber ein- 

 ander liegen, und dass man bei jedem ganzen Umgang um den 

 Cylinderumfang in eine andere Lage hineinkommt, verschieden 

 von derjenigen, in der man sich frher befand. 



Diese Bemerkungen sind nthig, um Ihnen eine Vorstellung 

 von einer Art von Flche geben zu knnen, deren Geometrie der 

 der Ebene im Ganzen hnlich ist, fr welche aber das Axiom von 

 den Parallellinien nicht gilt. Es ist dies eine Art gekrmmter 

 Flche, welche sich in geometrischer Beziehung wie das Gegentheil 

 einer Kugel verhlt, und die deshalb von dem ausgezeichneten 

 italienischen Mathematiker E. Beltrami 1 ), der ihre Eigenschaften 

 untersucht hat, die pseudosphrische Flche genannt worden 

 ist. Es ist eine sattelfrmige Flche, von der in unserem Baume 

 nur begrenzte Stcke oder Streifen zusammenhngend dargestellt 

 werden knnen, die man aber doch sich nach allen Richtungen in 

 das Unendliche fortgesetzt denken kann, da man jedes an der 

 Grenze des construirten Flchentheiles liegende Stck nach der 



*) Saggio di Interpretazione della Geometria Non - Euclidea. .Napoli 

 1848. Teoria fundamentale degli Spazij di Curvatura costante. Annali 

 di Matematica. Ser. II, Tomo II, p. 2:i2 255. 



