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charakterisirt als Ebene oder Kugel oder pseudosphrische Flche. 

 Das Axiom, dass zwischen je zwei Punkten immer nur eine 

 krzeste Linie bestehe, trennt die Ebene und pseudosphrische 

 Flche von der Kugel , und das Axiom von den Parallelen 

 scheidet die Ebene von der Pseuclosphre. Diese drei Axiome 

 sind also nothwendig und hinreichend, um die Flche, auf 

 welche sich die Euklidische Planimetrie bezieht, als Ebene zu 

 charakterisiren , im Gegensatz zu allen anderen Raumgebilden 

 zweier Dimensionen. 



Der Unterschied zwischen der Geometrie in der Ebene und 

 derjenigen auf der Kugelflche ist lngst klar und anschaulich 

 gewesen, aber der Sinn des Axioms von den Parallelen konnte 

 erst verstanden werden, nachdem Gauss den Begriff der ohne 

 Dehnung biegsamen Flchen und damit der mglichen unend- 

 lichen Fortsetzung der pseudosphrischen Flchen entwickelt 

 hatte. Wir als Bewohner eines Raumes von drei Dimensionen und 

 begabt mit Sinneswerkzeugen, um alle diese Dimensionen wahr- 

 zunehmen, knnen uns die verschiedenen Flle, in denen flchen- 

 hafte Wesen ihre Raumanschauung auszubilden htten, allerdings 

 anschaulich vorstellen, weil wir zu diesem Ende nur unsere 

 eigenen Anschauungen auf ein engeres Gebiet zu beschrnken 

 haben. Anschauungen, die man hat, sich wegdenken ist leicht; 

 aber Anschauungen, fr die man nie ein Analogon gehabt hat, 

 sich sinnlich vorstellen ist sehr schwer. Wenn wir deshalb zum 

 Rume von drei Dimensionen bergehen, so sind wir in unserem 

 Vorstellungsvermgen gehemmt durch den Bau unserer Organe 

 und die damit gewonnenen Erfahrungen, welche nur zu dem 

 Rume passen, in dem wir leben. 



Nun haben wir aber noch einen anderen Weg zur wissen- 

 schaftlichen Behandlung der Geometrie. Es sind nmlich alle 

 uns bekannten Raumverhltnisse messbar, das heisst, sie knnen 

 auf Bestimmung von Grssen (von Linienlngen, Winkeln, Flchen, 

 Volumina) zurckgefhrt werden. Eben deshalb knnen die Auf- 

 gaben der Geometrie auch dadurch gelst werden, dass man die 

 Rechnungsmethoden aufsucht, mittelst deren man die unbekannten 

 Raum grossen aus den bekannten herzuleiten hat. Dies geschieht 

 in der analytischen Geometrie, in welcher die smmtlichen 

 Gebilde des Raumes nur als Grssen behandelt und durch andere 

 Grssen bestimmt werden. Auch sprechen schon unsere Axiome 

 von Raumgrssen. Die gerade Linie wird als die krzeste zwi- 

 schen zwei Punkten definirt, was eine Grssenbestimmung ist. 



