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dieser Stelle. Um Missverstndnisse abzuwehren, will ich hier 

 nur noch hervorheben, dass dieses sogenannte Krmmungsmaass 

 des Raumes eine auf rein analytischem Wege gefundene Rechnungs- 

 grsse ist, und dass seine Einfhrung keineswegs auf einer Unter- 

 schiebung von Verhltnissen, die nur in der sinnlichen Anschauung 

 Sinn htten, beruht. Der Name ist nur als kurze Bezeichnung 

 eines verwickelten Verhltnisses von dem einen Falle hergenommen, 

 wo der bezeichneten Grsse eine sinnliche Anschauung entspricht. 



Wenn nun dieses Krmmungsmaass des Raumes berall den 

 Werth Null hat, entspricht ein solcher Raum berall den Axiomen 

 des Euklides. Wir knnen ihn in diesem Falle einen ebenen 

 Raum nennen, im Gegensatz zu anderen analytisch construir- 

 baren Rumen, die man gekrmmte nennen knnte, weil ihr 

 Krmmungsmaass einen von Null verschiedenen Werth hat. In- 

 dessen lsst sich die analytische Geometrie fr Rume der letzteren 

 Art ebenso vollstndig und in sich consequent durchfhren, wie die 

 gewhnliche Geometrie unseres thatschlich bestehenden ebenen 

 Raumes. 



Ist das Krmmungsmaass positiv, so erhalten wir den sph- 

 rischen Raum, in welchem die geradesten Linien in sich zurck- 

 laufen, und in welchem es keine Parallelen giebt. Ein solcher 

 Raum wre, wie die Oberflche einer Kugel, unbegrenzt, aber nicht 

 unendlich gross. Ein negatives constantes Krmmungsmaass 

 dagegen giebt den pseudosphrischen Raum, in welchem die 

 geradesten Linien in das Unendliche auslaufen, und in jeder 

 ebensten Flche durch jeden Punkt ein Bndel von geradesten 

 Linien zu legen ist, die eine gegebene andere geradeste Linie 

 jener Flche nicht schneiden. 



Diese letzteren Verhltnisse hat Beltrami 1 ) dadurch der 

 Anschauung zugnglich gemacht, dass er zeigte, wie man die 

 Punkte, Linien und Flchen eines pseudosphrischen Raumes von 

 drei Dimensionen im Inneren einer Kugel des Euklid es' sehen 

 Raumes so abbilden kann, dass jede geradeste Linie des pseudo- 

 sphrischen Raumes in der Kugel durch eine gerade Linie ver- 

 treten wird, jede ebenste Flche des ersteren durch eine Ebene in 

 der letzteren. Die Kugeloberflche selbst entspricht dabei den 

 unendlich entfernten Punkten des pseudosphrischen Raumes; die 

 verschiedenen Theile desselben sind in ihrem Kugelabbild um so 



J ) Teoria fundamentale degli Spazii di Curvatura costante. Annali di 

 Matematica. Ser. II, Tom. II, Fase. III, p. 232255. 



