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mehr verkleinert, je nher sie der Kugeloberfiche liegen und zwar 

 in der Richtung der Kugelradien strker als in den Richtungen 

 senkrecht darauf. Gerade Linien in der Kugel, die sich erst 

 ausserhalb der Kugeloberflche schneiden, entsprechen geradesten 

 Linien des pseudosphrischen Raumes, die sich nirgends schneiden. 



Somit zeigte sich, dass der Raum, als Gebiet messbarer Grssen 

 betrachtet, keineswegs dem allgemeinsten Begriffe einer Mannig- 

 faltigkeit von drei Dimensionen entspricht, sondern noch besondere 

 Bestimmungen erhlt, welche bedingt sind durch die vollkommen 

 freie Beweglichkeit der festen Krper mit unvernderter Form 

 nach allen Orten hin und bei allen mglichen Richtungsnderungen. 

 Ferner durch den besonderen Werth des Krmmungsmaasses, 

 welches fr den thatschlich vorliegenden Raum gleich Null zu 

 setzen ist, oder sich wenigstens in seinem Werthe nicht merk- 

 lich von Null unterscheidet. Diese letztere Festsetzung ist in den 

 Axiomen von den geraden Linien und von den Parallelen gegeben. 



Whrend Riemann von den allgemeinsten Grundfragen der 

 analytischen Geometrie her dieses neue Gebiet betrat, war ich 

 selbst theils durch Untersuchungen ber die rumliche Darstellung 

 des Systems der Farben, also durch Vergleichung einer dreifach 

 ausgedehnten Mannigfaltigkeit mit einer anderen, theils durch 

 Untersuchungen ber den Ursprung unseres Augenmaasses fr 

 Abmessungen des Gesichtsfeldes zu hnlichen Betrachtungen ge- 

 kommen. Riemann ging von dem oben erwhnten algebraischen 

 Ausdrucke, welcher die Entfernung zweier einander unendlich 

 naher Punkte in allgemeinster Form darstellt, als seiner Grund- 

 annahme aus, und leitete daraus die Stze ber Beweglichkeit 

 fester Raumgebilde her; whrend ich von der Thatsache der Beob- 

 achtung ausgegangen bin, dass in unserem Rume die Bewegung 

 fester Raumgebilde mit demjenigen Grade von Freiheit mglich 

 ist, den wir kennen, und aus dieser Thatsache die Notwendigkeit 

 jenes algebraischen Ausdrucks hergeleitet habe, den Riemann 

 als Axiom hinstellt. Die Annahmen, welche ich der Rechnung zu 

 Grunde legen musste, waren die folgenden. 



Erstens um berhaupt rechnende Behandlung mglich zu 

 machen muss vorausgesetzt werden, dass die Lage jedes Punktes 

 A gegen gewisse als unvernderlich und fest betrachtete Raum- 

 gebilde durch Messungen von irgend welchen Raumgrssen, seien 

 es Linien, oder Winkel zwischen Linien, oder Winkel zwischen 

 Flchen u. s. w., bestimmt werden knne. Bekanntlich nennt 

 man die zur Bestimmung der Lage des Punktes A nthigen 



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