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Krpers bestehen, von besonderer Art sein mssen; so dass, wenn 

 sie im Rume von drei Dimensionen fr neun aus je fnf Punkten 

 gebildete Punktpaare erfllt sind, aus ihnen die Gleichung fr 

 das zehnte Paar identisch folgt. Auf diesem Umstnde beruht 

 es, dass die genannte Annahme fr die Definition der Festigkeit 

 doch gengt, um die Art der Gleichungen zu bestimmen, welche 

 zwischen den Coordinaten zweier fest mit einander verbundener 

 Punkte bestehen. 



Drittens ergab sich, dass der Rechnung noch eine besondere 

 Eigenthmlichkeit der Bewegung fester Krper als Thatsache zu 

 Grunde gelegt werden musste, eine Eigenthmlichkeit, welche 

 uns so gelufig ist, dass wir ohne diese Untersuchung vielleicht 

 nie darauf verfallen wren, sie als etwas zu betrachten, was auch 

 nicht sein knnte. Wenn wir nmlich in unserem Rume von 

 drei Dimensionen zwei Punkte eines festen Krpers festhalten, so 

 kann er nur noch Drehungen um deren gerade Verbindungslinie 

 als Drehungsaxe machen. Drehen wir ihn einmal ganz um, so 

 kommt er genau wieder in die Lage, in der er sich zuerst befunden 

 hatte. Dass nun Drehung ohne Umkehr jeden festen Krper 

 immer wieder in seine Anfangslage zurckfhrt, muss besonders 

 erwhnt werden. Es wre eine Geometrie mglich, wo dies nicht 

 so wre. Am einfachsten ist dies fr die Geometrie der Ebene 

 einzusehen. Man denke sich, dass bei jeder Drehung jeder ebenen 

 Figur ihre linearen Dimensionen dem Drehungswinkel proportional 

 wchsen, so wrde nach einer ganzen Drehung um 360 Grad die 

 Figur nicht mehr ihrem Anfangszustande congruent sein. Uebrigens 

 wrde ihr aber jede zweite Figur, die ihr in der Anfangslage 

 congruent war, auch in der zweiten Lage congruent gemacht 

 werden knnen, wenn auch die zweite Figur um 360 Grad gedreht 

 wird. Es wrde ein consequentes System der Geometrie auch unter 

 dieser Annahme mglich sein, welches nicht unter die Riemann'- 

 sche Form fllt. 



Andererseits habe ich gezeigt, dass die aufgezhlten drei 

 Annahmen zusammengenommen ausreichend sind, um den von 

 Riemann angenommenen Ausgangspunkt der Untersuchung zu 

 begrnden, und damit auch alle weiteren Ergebnisse von dessen 

 Arbeit, die sich auf den Unterschied der verschiedenen Rume 

 nach ihrem Krmmungsmaass beziehen. 



Es liesse sich nun noch fragen, ob auch die Gesetze der 

 Bewegung und ihrer Abhngigkeit von den bewegenden Krften 

 ohne Widerspruch auf die sphrischen oder pseudosphrischen 



