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kleinert und um so mehr abgeplattet sind, je ferner ihre Objecte 

 vom Spiegel liegen. Die Abplattung, das heisst die Verkleinerung 

 der Tiefendimension, ist verhltnissmssig bedeutender als die Ver- 

 kleinerung der Flchendimensionen. Dennoch wird jede gerade 

 Linie der Aussenwelt durch eine gerade Linie im Bilde, jede 

 Ebene durch eine Ebene dargestellt. Das Bild eines Mannes, der 

 mit einem Maassstab eine von dem Spiegel sich entfernende gerade 

 Linie abmisst, wrde immer mehr zusammenschrumpfen, je mehr 

 das Original sich entfernt, aber mit seinem ebenfalls zusammen- 

 schrumpfenden Maassstab wrde der Mann im Bilde genau dieselbe 

 Zahl von Centimetern herauszhlen, wie der Mann in der Wirk- 

 lichkeit; berhaupt wrden alle geometrischen Messungen von 

 Linien oder Winkeln, mit den gesetzmssig vernderlichen Spiegel- 

 bildern der wirklichen Instrumente ausgefhrt, genau dieselben 

 Resultate ergeben wie die in der Aussenwelt. Alle Congruenzen 

 wrden in den Bildern bei wirklicher Alieinanderlagerung der 

 betreffenden Krper ebenso passen wie in der Aussenwelt, alle 

 Visirlinien der Aussenwelt durch gerade Visirlinien im Spiegel 

 ersetzt sein. Kurz, ich sehe nicht, wie die Mnner im Spiegel 

 herausbringen sollten, dass ihre Krper nicht feste Krper und 

 ihre Erfahrungen gute Beispiele fr die Richtigkeit der xAxiome 

 des Euklid es seien. Knnten sie aber hinausschauen in unsere 

 Welt, wie wir hineinschauen in die ihrige, ohne die Grenze ber- 

 schreiten zu knnen, so wrden sie unsere Welt fr das Bild eines 

 Convexspiegels erklren mssen und von uns gerade so reden, 

 wie wir von ihnen, und wenn sich die Mnner beider Welten mit 

 einander besprechen knnten, so wrde, soweit ich sehe, keiner 

 den anderen berzeugen knnen, dass er die wahren Verhltnisse 

 habe, der andere die verzerrten; ja ich kann nicht erkennen, dass 

 eine solche Frage berhaupt einen Sinn htte, so lange wir keine 

 mechanischen Betrachtungen einmischen. 



Nun ist Beltrami's Abbildung des pseudosphrischen Raumes 

 in einer Vollkugel des Euklid' sehen Raumes von ganz hnlicher 

 Art, nur dass die Flche des Hintergrundes nicht eine Ebene, 

 wie bei dem Convexspiegel, sondern eine Kugelflche ist, und das 

 Verhltniss, in welchem sich die der Kugelflche nher kommen- 

 den Bilder zusammenziehen, einen anderen mathematischen Aus- 

 druck 1 ) hat. Denkt man sich also umgekehrt, dass in der Kugel, 

 fr deren Innenraum die Axiome des Euklid es gelten, sich 



*) Einige mathematische Erluterungen befinden sich im Anhansr. 



