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lieh den Anblick der so gesehenen Gegenstnde. Den seltsamsten 

 Theil des Anblicks der sphrischen Welt wrde aber nnser 

 eigener Hinterkopf bilden, in dem alle unsere Gesichtslinien wieder 

 zusammenlaufen wrden, soweit sie zwischen anderen Gegenstnden 

 frei durchgehen knnten, und welcher den ussersten Hintergrund 

 des ganzen perspectivischen Bildes ausfllen msste. 



Dabei ist freilich noch weiter zu bemerken, dass, wie eine 

 kleine ebene elastische Scheibe, etwa eine kleine ebene Kaut- 

 schukplatte, einer schwach gewlbten Kugelflche nur unter rela- 

 tiver Contraction ihres Randes und Dehnung ihrer Mitte angepasst 

 werden kann, so auch unser im Euklid'schen ebenen Raum 

 gewachsener Krper nicht in einen gekrmmten Raum bergehen 

 knnte ohne hnliche Dehnungen und Zusammenpressungen seiner 

 Theile zu erleiden, deren Zusammenhang natrlich nur so weit 

 erhalten bleiben knnte, als die Elasticitt der Theile ein Nach- 

 geben ohne Reissen und Brechen erlaubte. Die Art der Dehnung 

 wrde dieselbe sein mssen, als wenn wir uns im Mittelpunkte 

 von Beltrami's Kugel einen kleinen Krper dchten, und von 

 diesem dann auf sein pseudosphrisches oder sphrisches Abbild 

 bergingen. Damit ein solcher Uebergang als mglich erscheine, 

 wird immer vorausgesetzt werden mssen, dass der bergehende 

 Krper hinreichend elastisch und klein sei im Vergleich mit dem 

 reellen oder imaginren Krmmungsradius des gekrmmten Raumes, 

 in den er bergehen soll. 



Es wird dies gengen um zu zeigen, wie man auf dem ein- 

 geschlagenen Wege aus den bekannten Gesetzen unserer sinnlichen 

 Wahrnehmungen die Reihe der sinnlichen Eindrcke herleiten 

 kann, welche eine sphrische oder pseudosphrische Welt uns 

 geben wrde, wenn sie existirte. Auch dabei treffen wir nirgends 

 auf eine Unfolgerichtigkeit oder Unmglichkeit, ebenso wenig wie 

 in der rechnenden Behandlung der Maassverhltnisse. Wir knnen 

 uns den Anblick einer pseudosphrischen Welt ebenso gut nach 

 allen Richtungen hin ausmalen, wir wir ihren Begriff entwickeln 

 knnen. Wir knnen deshalb auch nicht zugeben, dass die Axiome 

 unserer Geometrie in der gegebenen Form unseres Anschauungs- 

 vermgens begrndet wren, oder mit einer solchen irgendwie 

 zusammen hingen. 



Anders ist es mit den drei Dimensionen des Raumes. Da 

 alle unsere Mittel sinnlicher Anschauung sich nur auf einen Raum 

 von drei Dimensionen erstrecken, und die vierte Dimension nicht 

 bloss eine Abnderung von Vorhandenem, sondern etwas voll- 



