Erfahrung und die logische Mglichkeit, sie durch andere zu 

 ersetzen, betreffen. 



Da die darauf bezglichen Originalarbeiten der Mathematiker 

 zunchst nur bestimmt Beweise fr den Sachverstndigen in 

 einem Gebiete zu fhren, welches eine hhere Kraft der Abstraction 

 in Anspruch nimmt als irgend ein anderes dem Nichtmathe- 

 matiker ziemlich unzugnglich sind, so will ich versuchen auch 

 fr einen solchen anschaulich zu machen, um was es sich handelt. 

 Ich brauche wohl nicht zu bemerken, dass meine Auseinander- 

 setzung keinen Beweis von der Richtigkeit der neuen Einsichten 

 geben soll. Wer einen solchen sucht, der muss sich schon die 

 Mhe nehmen, die Originalarbeiten zu studiren. 



Wer einmal durch die Pforten der ersten elementaren Stze 

 in die Geometrie, das heisst die mathematische Lehre vom Rume, 

 eingetreten ist, der findet vor sich auf seinem weiteren W T ege 

 jene lckenlose Kette von Schlssen, von denen ich vorher ge- 

 sprochen habe, durch welche immer mannigfachere und ver- 

 wickeitere Raumformen ihre Gesetze empfangen. Aber in jenen 

 ersten Elementen werden einige Stze aufgestellt, von denen die 

 Geometrie selbst erklrt, dass sie sie nicht beweisen knne; dass 

 sie nur darauf rechnen msse, Jeder, der den Sinn dieser Stze 

 verstehe, werde ihre Richtigkeit zugeben. Das sind die sogenannten 

 Axiome der Geometrie. Zu diesen gehrt zunchst der Satz, 

 dass, wenn man die krzeste Linie, die zwischen zwei Punkten 

 gezogen werden kann, eine gerade Linie nennt, es zwischen 

 zwei Punkten nur eine und nicht zwei verschiedene solche gerade 

 Linien geben knne. Es ist ferner ein Axiom, dass durch je 

 drei Punkte des Raumes, die nicht in einer geraden Linie liegen, 

 eine Ebene gelegt werden kann, das heisst eine Flche, in welche 

 jede gerade Linie, die zwei ihrer Punkte verbindet, ganz hinein 

 fllt. Ein anderes vielbesprochenes Axiom sagt aus, dass durch 

 einen ausserhalb einer geraden Linie liegenden Punkt nur eine 

 einzige und nicht zwei verschiedene, jener ersten parallele, Linien 

 gelegt werden knnen. Parallel aber nennt man zwei Linien, 

 die in ein und derselben Ebene liegen und sich niemals schneiden, 

 so weit sie auch verlngert werden mgen. Ausserdem sprechen 

 die geometrischen Axiome Stze aus, welche die Anzahl der 

 Dimensionen sowohl des Raumes als seiner Flchen, Linien, 

 Punkte bestimmen, und den Begriff der Continuitt dieser Ge- 

 bilde erlutern, wie die Stze, dass die Grenze eines Krpers 

 eine Flche, die einer Flche eine Linie, die einer Linie ein 



