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Punkt, und der Punkt untheilbar ist; ferner die Stze, dass 

 durch Bewegung eines Punktes eine Linie, durch Bewegung einer 

 Linie eine Linie oder Flche, durch Bewegung einer Flche eine 

 Flche oder ein Krper, durch Bewegung eines Krpers aber 

 immer nur wieder ein Krper beschrieben werde. 



Woher kommen nun solche Stze, unbeweisbar und doch 

 unzweifelhaft richtig im Felde einer Wissenschaft, wo sich alles 

 Andere der Herrschaft des Schlusses hat unterwerfen lassen? 

 Sind sie ein Erbtheil aus der gttlichen Quelle unserer Vernunft, 

 wie die idealistischen Philosophen meinen, oder ist der Scharf- 

 sinn der bisher aufgetretenen Generationen von Mathematikern 

 nur noch nicht ausreichend gewesen den Beweis zu finden? 

 Natrlich versucht jeder neue Jnger der Geometrie, der mit 

 frischem Eifer an diese Wissenschaft herantritt, der Glckliche 

 zu sein, welcher alle Vorgnger berflgelt. Auch ist es ganz 

 recht, dass ein Jeder sich von Neuem daran versucht; denn nur 

 durch die Fruchtlosigkeit der eigenen Versuche konnte man sich 

 bei der bisherigen Sachlage von der Unmglichkeit des Beweises 

 berzeugen. Leider finden sich von Zeit zu Zeit auch immer 

 einzelne Grbler, welche sich so lange und tief in verwickelte 

 Schlussfolgen verstricken, bis sie die begangenen Fehler nicht 

 mehr entdecken knnen und die Sache gelst zu haben glauben. 

 Namentlich der Satz von den Parallelen hat eine grosse Zahl 

 scheinbarer Beweise hervorgerufen. 



Die grsste Schwierigkeit in diesen Untersuchungen bestand 

 und besteht immer darin, dass sich mit den logischen Begriffs- 

 entwickelungen gar zu leicht Ergebnisse der alltglichen Erfahrung 

 als scheinbare Denknothwendigkeiten vermischten, so lange die 

 einzige Methode der Geometrie die von Euklides gelehrte Me- 

 thode der Anschauung war. Namentlich ist es ausserordentlich 

 schwer, auf diesem Wege vorschreitend sich berall klar zu machen, 

 ob man in den Schritten, die man fr die Beweisfhrung nach ein- 

 ander vorschreibt, nicht unwillkrlich und unwissentlich gewisse 

 allgemeinste Ergebnisse der Erfahrung zu Hilfe nimmt, welche die 

 Ausfhrbarkeit gewisser vorgeschriebener Theile des Verfahrens 

 uns schon praktisch gelehrt haben. Der wohlgeschulte Geometer 

 fragt bei jeder Hilfslinie, die er fr irgend einen Beweis zieht, 

 ob es auch immer mglich sein wird eine Linie von der verlangten 

 Art zu ziehen. Bekanntlich spielen die Constructionsaufgaben in 

 dem Systeme der Geometrie eine wesentliche Bolle. Oberflchlich 

 betrachtet sehen dieselben aas wie praktische Anwendungen, 



