welche man zur Einbimg der Schler hineingesetzt hat. In 

 Wahrheit aber stellen sie die Existenz gewisser Gebilde fest. 

 Sie zeigen, dass Punkte, gerade Linien oder Kreise von der Art, 

 wie sie in der Aufgabe zu construiren verlangt werden, entweder 

 unter allen Bedingungen mglich sind, oder bestimmen die etwa 

 vorhandenen Ausnahmeflle. Der Punkt, um den sich die im 

 Folgenden zu besprechenden Untersuchungen drehen, ist wesent- 

 lich dieser Art. Die Grundlage aller Beweise in der Euklid'- 

 schen Methode ist der Nachweis der Congruenz der betreffenden 

 Linien, Winkel, ebenen Figuren, Krper u. s. w. Um die Con- 

 gruenz anschaulich zu machen, stellt man sich vor, dass die be- 

 treifenden geometrischen Gebilde zu einander hinbewegt werden, 

 natrlich ohne ihre Form und Dimensionen zu verndern. Dass 

 dies in der That mglich und ausfhrbar sei, haben wir alle 

 von frhester Jugend an erfahren. Wenn wir aber Denknoth- 

 wendigkeiten auf diese Annahme freier Beweglichkeit fester Raum- 

 gebilde mit unvernderter Form nach jeder Stelle des Raumes 

 hin bauen wollen, so mssen wir die Frage aufwerfen, ob diese 

 Annahme keine logisch unerwiesene Voraussetzung einschliesst. 

 Wir werden gleich nachher sehen, dass sie in der That eine 

 solche einschliesst, und zwar eine sehr folgenreiche. Wenn sie 

 das aber thut, so ist jeder Congruenzbeweis auf eine nur aus 

 der Erfahrung genommene Thatsache gesttzt. 



Ich fhre diese Ueberlegungen hier zunchst nur an, um 

 klar zu machen, auf welche Schwierigkeiten wir bei der voll- 

 stndigen Analyse aller von uns gemachten Voraussetzungen nach 

 der Methode der Anschauung stossen. Ihnen entgehen wir, wenn 

 wir die von der neueren rechnenden Geometrie ausgearbeitete 

 analytische Methode auf die Untersuchung der Principien an- 

 wenden. Die ganze Ausfhrung der Rechnung ist eine rein 

 logische Operation; sie kann keine Beziehung zwischen den der 

 Rechnung unterworfenen Grssen ergeben, die nicht schon in 

 den Gleichungen, welche den Ansatz der Rechnung bilden, ent- 

 halten ist. Die erwhnten neueren Untersuchungen sind deshalb 

 fast ausschliesslich mittelst der rein abstracten Methode der 

 analytischen Geometrie gefhrt worden. 



Uebrigens lsst sich nun doch, nachdem die abstracte Me- 

 thode die Punkte, auf die es ankommt, kennen gelehrt hat, einiger- 

 maassen eine Anschauung dieser Punkte geben; am besten, wenn 

 wir in ein engeres Gebiet herabsteigen, als unsere eigene Raum- 

 welt ist. Denken wir uns darin liegt keine logische Unmg- 



