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kennen. Sie wrden behaupten, dass beliebige zwei geradeste 

 Linien, gehrig verlngert, sich schliesslich nicht nur in einem, 

 sondern in zwei Punkten schneiden mssten. Die Summe der 

 Winkel in einem Dreieck wrde immer grsser sein als zwei 

 Rechte, und um so grsser, je grsser die Flche des Dreiecks. 

 Eben deshalb wrde ihnen auch der Begriff der geometrischen 

 Aehnlichkeit der Form zwischen grsseren und kleineren Figuren 

 derselben Art fehlen. Denn ein grsseres Dreieck muss noth- 

 wendig andere Winkel haben als ein kleineres. Ihr Raum wrde 

 allerdings unbegrenzt, aber endlich ausgedehnt gefunden oder 

 mindestens vorgestellt werden mssen. 



Es ist klar, dass die Wesen auf der Kugel bei denselben 

 logischen Fhigkeiten, doch ein ganz anderes System geometrischer 

 Axiome aufstellen mssten, als die Wesen auf der Ebene, und als 

 wir selbst in unserem Rume von drei Dimensionen. Diese Bei- 

 spiele zeigen uns schon, dass, je nach der Art des Wohnraumes, 

 verschiedene geometrische Axiome aufgestellt werden mssten von 

 Wesen, deren Verstandeskrfte den unserigen ganz entsprechend 

 sein knnten. 



Aber gehen wir weiter. Denken wir uns vernnftige Wesen 

 existirend an der Oberflche eines eifrmigen Krpers. Zwischen 

 je drei Punkten einer solchen Oberflche knnte man krzeste 

 Linien ziehen und so ein Dreieck construiren. Wenn man aber 

 versuchte an verschiedenen Stellen dieser Flche congruente 

 Dreiecke zu construiren, so wrde sich zeigen, dass, wenn zwei 

 Dreiecke gleich lange Seiten haben, ihre Winkel nicht gleich 

 gross ausfallen. An dem spitzeren Ende des Eies gezeichnet, 

 wrde die Winkelsumme des Dreiecks sich mehr von zwei Rechten 

 unterscheiden, als wenn ein Dreieck mit denselben Seiten an dem 

 stumpferen Ende gezeichnet wrde; daraus geht hervor, dass an 

 einer solchen Flche sich nicht einmal ein so einfaches Raum- 

 gebilde, wie ein Dreieck, ohne Aenderung seiner Form von einem 

 Orte nach jedem anderen fortbewegen lassen wrde. Ebenso 

 wrde sich zeigen, dass, wenn an verschiedenen Stellen einer 

 solchen Oberflche Kreise mit gleichen Radien construirt wrden 

 (die Lnge der Radien immer durch krzeste Linien lngs der 

 Flche gemessen), deren Peripherie am stumpfen Ende grsser 

 ausfallen wrde, als am spitzeren Ende. 



Daraus folgt weiter, dass es eine besondere geometrische 

 Eigenschaft einer Flche ist, wenn sich in ihr liegende Figuren, 

 ohne Vernderung ihrer smmtlichen lngs der Flche gemessenen 



