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starken Krmmung an der Kante enden. Auch zu einem kelch- 

 frmigen Champagnerglase mit unendlich verlngertem, immer 

 dnner werdendem Stiele wie Fig. 2 (a. v. S.) knnte eine Hlfte 

 einer pseudosphrischen Flche aufgewickelt werden. Aber an 

 einer Seite ist sie nothwendig immer durch einen scharf ab- 

 brechenden Rand begrenzt, ber den hinaus eine continuhiiche 

 Fortsetzung der Flche nicht unmittelbar ausgefhrt werden 

 kann. Nur dadurch, dass man jedes einzelne Stck des Randes 

 losgeschnitten und lngs der Flche des Ringes oder Kelchglases 

 verschoben denkt, kann man es zu Stellen von anderer Biegung 

 bringen, an denen weitere Fortsetzung dieses Flchenstcks 

 mglich ist. 



In dieser Weise lassen sich denn auch die geradesten Linien 

 der pseudosphrischen Flche unendlich verlngern. Sie laufen 

 nicht wie die der Kugel in sich zurck, sondern , wie auf der 

 Ebene, ist zwischen zwei gegebenen Punkten immer nur eine 

 einzige krzeste Linie mglich. Aber das Axiom von den Paral- 

 lelen trifft nicht zu. Wenn eine geradeste Linie auf der Flche 

 gegeben ist und ein Punkt ausserhalb derselben, so lsst sich ein 

 ganzes Bndel von geradesten Linien durch den Punkt legen, 

 welche alle die erstgenannte Linie nicht schneiden, auch wenn 

 sie ins Unendliche verlngert werden. Es sind dies alle Linien, 

 welche zwischen zwei das Bndel begrenzenden geradesten Linien 

 liegen. Die eine von diesen, unendlich verlngert, trifft die erst- 

 genannte Linie im Unendlichen bei Verlngerung nach einer 

 Seite, die andere bei Verlngerung nach der anderen Seite. 



Eine solche Geometrie, welche das Axiom von den Parallelen 

 fallen lsst, ist brigens schon im Jahre. 1829 nach der synthe- 

 tischen Methode des Euklid von dem Mathematiker N. J. Lobat- 

 schewsky zu Kasan vollstndig ausgearbeitet worden 1 ). Es 

 zeigte sich, dass deren System ebenso consequent und ohne 

 Widerspruch durchzufhren sei, wie das des Euklides. Diese 

 Geometrie ist in vollstndiger Uebereinstimmung mit der der 

 pseudosphrischen Flchen, wie sie Beltrami neuerdings ausge- 

 bildet hat. 



Wir sehen daraus, dass in der Geometrie zweier Dimensionen 

 die Voraussetzung, jede Figur knne, ohne irgend welche Aende- 

 rung ihrer in der Flche liegenden Dimensionen, nach allen 

 Richtungen hin fortbewegt werden, die betreffende Flche 



r ) Principien der Geometrie. Kasan, 1829 bis 1830. 



