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Das Axiom von den Parallelen sagt aus, dass, wenn zwei gerade 

 Linien in derselben Ebene sich nicht schneiden (parallel sind), 

 die Wechselwinkel, beziehlich die Gegenwinkel, an einer dritten, 

 sie schneidenden, paarweise gleich sind. Oder dafr wird der Satz 

 gesetzt, dass die Summe der Winkel in jedem Dreieck gleich zwei 

 Rechten ist. Auch dies sind Grssenbestimmungen. 



Man kann also auch von dieser Seite des Raumbegriffs 

 ausgehen, wonach die Lage jedes Punktes, in Bezug auf irgend 

 welches als fest angesehenes Raumgebilde (Coordinatensystem), 

 durch Messungen irgend welcher Grssen bestimmt werden kann; 

 dann zusehen, welche besonderen Bestimmungen unserem Rume, 

 wie er bei den thatschlich auszufhrenden Messungen sich dar- 

 stellt, zukommen, und ob solche da sind, durch welche er sich 

 von hnlich mannigfaltig ausgedehnten Grssen unterscheidet. 

 Der der Wissenschaft leider zu frh entrissene Riemann in 

 Gttingen *) hat zuerst diesen Weg eingeschlagen. Dieser Weg hat 

 den eigenthmlichen Vorzug, dass alle Operationen, die in ihm vor- 

 kommen, reine rechnende Grssenbestimmungen sind, wobei die 

 Gefahr, dass sich gewohnte Anschauungsthatsachen als Denk- 

 nothwendigkeiten unterschieben knnten, ganz wegfllt. 



Die Zahl der Abmessungen, welche nthig ist, um die Lage 

 eines Punktes zu geben, ist gleich der Anzahl der Dimensionen des 

 betreffenden Raumes. In einer Linie gengt der Abstand von 

 einem festen Punkte, also eine Grsse; in einer Flche muss man 

 schon die Abstnde von zwei festen Punkten angeben; im Raum 

 von dreien, um die Lage des Punktes zu fixiren; oder wir brau- 

 chen, wie auf der Erde, geographische Lnge, Breite und Hhe 

 ber dem Meere, oder, wie in der analytischen Geometrie gewhn- 

 lich, die Abstnde von drei Coordinatebenen. Riemann nennt 

 ein System von Unterschieden, in welchem das Einzelne durch 

 n Abmessungen bestimmt werden kann, eine wfach ausgedehnte 

 Mannigfaltigkeit oder eine Mannigfaltigkeit von n Di- 

 mensionen. Somit ist also der uns bekannte Raum, in dem wir 

 leben, eine dreifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit von Punkten, 

 eine Flche eine zweifache, eine Linie eine einfache, die Zeit ebenso 

 eine einfache. Auch das System der Farben bildet eine dreifache 

 Mannigfaltigkeit, insofern jede Farbe nach Thomas Young's und 



*) Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen", 

 Habilitationsschrift vom 10. Juni 1854. Verffentlicht in Bd. XIII der Ab- 

 handlungen der Knigl. Gesellschaft zu Gttingen. 



