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rechnende analytische Geometrie sicher entwickelt werden. Fr 

 das vorliegende Problem hat zuerst Gauss 1828 durch seine 

 Abhandlung ber die Krmmung der Flchen die analytischen 

 Hlfsmittel gegeben, und Riemann diese zur Auffindung der 

 logisch mglichen, in sich consequenten Systeme der Geometrie 

 angewendet; diese Untersuchungen hat man nicht unpassend als 

 metamathematische bezeichnet. Zu bemerken ist brigens, 

 dass schon Lobatschewski 1829 und 1840 eine Geometrie 

 ohne den Parallelensatz auf dem gewhnlichen synthetisch 

 anschaulichen Wege durchgefhrt hat, welche in vollkommener 

 Uebereinstimmung mit dem entsprechenden Theile der neueren 

 analytischen Untersuchungen ist. Endlich hat Beltrami eine 

 Methode der Abbildung metamathematischer Rume in Theilen 

 des Euklidischen Raumes angegeben, durch welche die Bestim- 

 mung ihrer Erscheinungsweise im perspectivischen Sehen ziem- 

 lich leicht gemacht wird. Lipschitz hat die Uebertragbarkeit 

 der allgemeinen Principien der Mechanik auf solche Rume nach- 

 gewiesen, so dass die Reihe der Sinneseindrcke, die in ihnen 

 zu Stande kommen wrden, vollstndig angegeben werden kann, 

 womit die Anschaubarkeit solcher Rume im Sinne der voran- 

 gestellten Definition dieses Begriffes erwiesen ist 1 ). 



Hier aber tritt der Widerspruch ein. Ich verlange fr den 

 Beweis der Anschaubarkeit nur, dass fr jede Beobachtungsweise 

 bestimmt und unzweideutig die entstehenden Sinneseindrcke 

 anzugeben seien, ntigenfalls unter Benutzung der wissenschaft- 

 lichen Kenntniss ihrer Gesetze, aus denen, wenigstens fr den 

 Kenner dieser Gesetze, hervorgehen wrde, dass das betreffende 

 Ding oder anzuschauende Verhltniss thatschlich vorhanden sei. 

 Die Aufgabe, sich die Raumverhltnisse in metamathematischen 

 Rumen vorzustellen, erfordert in der That einige Uebung im 

 Yerstndniss analytischer Methoden, perspectivischer Construc- 

 tionen und optischer Erscheinungen. 



Dies aber widerspricht dem lteren Begriff der Anschauung^ 

 welcher nur das als durch Anschauung gegeben anerkennt, dessen 

 Vorstellung ohne Besinnen und Mhe sogleich mit dem sinn- 

 lichen Eindruck zum Bewusstsein kommt. Diese Leichtigkeit, 

 Schnelligkeit, blitzhnliche Evidenz, mit der wir zum Beisp'el die 

 Form eines Zimmers, in welches wir zum ersten Male treten, die 

 Anordnung und Form der darin enthaltenen Gegenstnde, den 



!) Siehe meinen Vortrag ber die Axiome der Geometrie. S. 1, Bd. II. 



