Zusatz zu dem Vortrag 



Ueber den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen 



Axiome". 



Mathematische Erluterungen. 



Die Grundzge der Geometrie der sphrischen Rume von 

 drei Dimensionen erhlt man am leichtesten, wenn man fr den 

 Raum von vier Dimensionen die der Kugel entsprechende 

 Gleichung aufstellt: 



* 2 + V 2 + z 2 + & = R 2 !) 



und fr die Entfernung ds zwischen den Punkten [#, y, 0, t] und 

 [(x + dx), (y + dy), (0 + dg\ (t + dt)] den Werth 



ds* = dx* -f- di + d0* + dP .... 2) 



Man berzeugt sich leicht mittelst derselben Methoden, welche 

 man fr drei Dimensionen anwendet, dass krzeste Linien gegeben 

 sind durch Gleichungen von der Form 



ax -\- by -\- 00 -\- ft = 0' 



ax -\- y -\- y0 -\- cpt = 



wo , &, c, / ebenso wie oc, , y, qp Constanten sind. 



Die Lnge des krzesten Bogens s zwischen den Punkten 

 (#, y, 0, t) und (, 97, J, z) ergiebt sich, wie auf der Kugel, durch 

 die Gleichung 



s() = xi + + g S+ tX 4) 



Aus den in 2) bis 4) gegebenen Werthen ist eine der Coordi- 

 naten durch die Gleichung 1) zu eliminiren, dann beziehen sich 

 die Ausdrcke auf einen sphrischen Raum von drei Dimensionen. 



3) 



