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Naturwissenschaftliche Rundschau. 



1912. Nr. 37. 



er durch seine Veröffentlichungen über die Theorie der 

 Differentialgleichungen die Aufmerksamkeit aller Mathe- 

 matiker erregte, bemerkte L. W. Thome, der streng ge- 

 schidte Zögling Weierstraßscher Richtung, schwache 

 Punkte in der Beweisführung und rügte dies in einem 

 Aufsätze. Poincares Erwiderung bestand darin, daß er 

 Thome alle seine bezüglichen Veröffentlichungen sandte 

 und schrieb, er habe nicht Zeit, diese Dinge nochmals 

 durchzuarbeiten, er sei durch andere Untersuchungen ge- 

 fesselt. Der Überreichtum , der ihm fortwährend zu- 

 strömenden neuen Gedanken bekundet sich in diesen 

 Worten ebenso stark wie der Glaube an den eigenen Ge- 

 nius, der sich des rechten Weges bewußt ist. — Bei dem 

 Drucke der Abhandlung über das Dreikörperproblem, die 

 mit dem Preise des Königs Oskar von Schweden gekrönt 

 worden war, entdeckte er einige zu verbessernde Irrtümer, 

 die eine Umarbeitung notwendig machten; daher mußten 

 die gedruckten Bogen einge9tam])ft werden und der Satz 

 von neuem beginnen. Solche Vorkommnisse schadeten 

 seinem Ansehen nicht. 



Bei der Überreichung der goldenen Medaille der 

 Royal Society in London an Poincarö (iL Februai' 11(09) 

 sagte der Präsident (i. II. Darwin: „Der vorherrschende 

 Charakter der Poincarescheu Arbeitsweise scheint mir 

 in einer unermeßlichen Weite von Verallgemeinerungen 

 zu bestehen, so daß die große Zahl der möglichen Deduk- 

 tionen zuweilen fast störend wirkt. Diese Macht im An- 

 packen der abstrakten Prinzipien ist das Wahrzeichen 

 für den Intellekt des wahren Mathematikers. Für je- 

 manden aber, der vielmehr gewohnt ist, das Konkrete zu 

 behandeln, ist die Schwierigkeit, sich des Ganges der 

 Schlußfolgerungen zu bemächtigen, bisweilen groß. Für 

 diese andere Klasse von Geistern besteht das leichtere 

 Verfahreu in der Prüfung irgend eines einfachen und 

 faßlichen Falles, um dann zur allgemeinsten Auffassuug 

 des Problems sich zu erheben. Ich stelle mir vor, daß 

 Poinoare bei seiner Arbeit einen anderen Weg ein- 

 schlagen muß, und daß er es leichter findet, zuerst die 

 breitesten Auswege zu betrachten , um von da zu spe- 

 zielleren F'ällen hinunter zu steigen. Selten besitzt jemand 

 diese Fähigkeit in hohem Grade, und man braucht sich 

 nicht zu wundern, daß einer, der sie besitzt, für die 

 Männer der Wissenschaft kommender Geschlechter ein 

 adeliges Krbteil zusammengebracht hat." 



Aus der geschilderten produktiven Tätigkeit erklärt 

 sich der große Umfang der Schriften Poincares. In 

 der am 1. .Udi 1}I09 abgeschlossenen Broschüre von 

 E.Lebon: „Henri Poincare. Biographie, ßil)liographie 

 analytique des ocrits", der die meisten Angaben dieses 

 Artikels entnommen sind, werden gegen 450 Titel von 

 Veröffentlichungen aufgezählt, unter ihnen 24 zum Teil 

 mehrbändige Werke in Bucliform. 



'Wie schon erwähnt, beziehen sich die ersten Arbeiten 

 Poincares auf die Integration der Differentialgleichungen. 

 Nachdem Riemann in seiner Behandlung der Differential- 

 gleichung für die hyperget>metrische Reihe den Weg für 

 solche Untersuchungen gewiesen und Weierstraß seinen 

 Schülern als Hauptaufgabe der Theorie der Differential- 

 gleichungen die Firmittelung der Eigenschaften der durch 

 sie charakterisierten Funktionen bezeichnet hatte , war 

 es Fuchs, einem Schüler von Weierstraß, gelungen, an 

 der Theorie der linearen Differentialgleichungen die P'ruclit- 

 barkeit der neuen Gedanken zu erweisen und somit der 

 Vater dieser Theorie zu werden. An dem Ausbau dieser 

 Theorie beteiligten sich dann neben ihm viele der damals 

 lebenden jüngeren Mathematiker; doch fehlte eine all- 

 gemeine Charakteristik für die Funktionen, die den line- 

 ai'en Differentialgleichungen genügen. 



Hier nun setzte Poincare ein. Durch Verall- 

 gemeinerung der Eigenschaften der elliptischen Funk- 

 tionen und der Modulfunktionen kam er zur allgemeinen 

 Untersuchung solcher Funktionen einer unabhängigen 

 Veränderlichen, die bei gebrochenen linearen Substitutionen 

 ungeändert bleiben, und gelangte zur Aufstellung charak- 



teristischer Gruppen dieser „automorphen Funktionen". 

 In aufrichtiger Anerkennung der deutschen Vorarbeiten 

 für diese Untersuchungen nannte er die eine Klasse dieser 

 Gruppen Fluchs sehe (jruppen, die andere Kl ein sehe 

 Gruppen. Bei der weiteren Bearbeitung dieser Theorie 

 konstruierte er Funktionen, die er in Analogie so bildete, 

 wie dies in der Theorie der elliptischen Funktion vor- 

 bildlich geschehen war, und nannte sie thetafuchsische 

 Funktionen und zetafuchsisehe Funktionen. 



„Durch die Einführung der zetafuchsischen Funktioneu, 

 die als Quotienten einer Reihe mit rationalen Gliedern 

 und einer ö- Reihe definiert werden, ist es Poincare 

 gelungen, den Beweis zu erbringen, daß die Lösungen 

 der linearen Ditierentialgleichuugen, deren Koeffizienten 

 algebraische I'unktionen der )inabhängigen Veränder- 

 lichen sind, mittels dieser neuen Transzendenten aus- 

 gedrückt werden können. Dieses kapitale F^rgebnis hat er 

 dadurch erhalten, daß er einen Weg verfolgte, der dem 

 entspricht , auf welchem die Integrale algebraischer 

 Differentiale, durch Abel sehe Thetaf unktionen ausgedrückt, 

 gewonnen werden. Auf diese Weise hat Poincare dem 

 Studium der automorphen Funktionen ein weites Feld 

 eröffnet, und durch die Aufhellung der Beziehungen 

 dieser Theorie mit derjenigen der linearen Differential- 

 gleichungen hat er dieses ältere Gebiet mit neuen und 

 fruchtbaren Methoden ausgestattet." 



Weierstraß übersah sofort die Tragweite der Ent- 

 deckungen Poincares und erkannte ihre fundamentale 

 Bedeutung freudig an. In diesen Untersuchungen spielen 

 solche Gebiete, in welche hinein eine analytische Funk- 

 tion nicht forteetzbar ist, die Lücken (laounes) ihres 

 P'eldes , eine Hauptrolle. Auf diese Lücken hatte 

 W^ei er Straß schon zum Beginn der sechziger Jahre des 

 vorigen Jahrhunderts in seinen funktiouentheoretischen 

 Vorlesungen nachdrücklich hingewiesen, und als die Er- 

 folge zutage lagen, die Poincare durch die systema- 

 tische Ausnutzung dieses Begriffes erzielt hatte, sprach 

 Weierstraß zu einem seiner Schüler, der das Studium 

 der linearen Differentialgleichungen zu seiner Lebens- 

 aufgabe gemacht hatte, seine Verwunderung darüber aus, 

 daß dieser nicht die gegebenen Winke in der Richtung 

 der Arbeiten von Poincare benutzt hätte. 



Der erweiterte Gesichtskreis, zu dem Poincare in 

 diesen Arbeiten aufgestiegen war, ermöglichte ihm die 

 .Aufstellung einer Reihe höchst wichtiger Sätze aus der 

 allgemeinen Funktionentheorie. Insbesondere erkannte 

 er den Nutzen , deu man aus der geeigneten Behandlung 

 divergenter Reihen für die Darstellung analytischer Funk- 

 tionen ziehen könne, und er zog sie systematisch bei 

 seinen „asymptotischen Darstellungen" herbei. Aber 

 auch die Geometrie, deren anschauliche Methoden er er- 

 weiterte, beschenkte er mit vieleu unerwarteten Sätzen. 

 Für die algebraischen Kurven führte er den Nachweis, 

 daß die Koordinaten der Punkte einer irgendwie defi- 

 nierten algebraischen Kurve immer durch eindeutige 

 Funktionen eines Parameters ausdrückbar sind. Die Vor- 

 stellungen der nichteuklidischen Geometrie waren ihm 

 bei seinen analytischen Untersuchungen von Nutzen ge- 

 wesen, und nun konnte er umgekehrt, etwa wie Lie bei 

 seinen Studien über die Herühruugstransformationeu, 

 seine Einsicht in die neuen Funktionen zur höheren Auf- 

 fassung der Begrille der Geometrie verwerten. In An- 

 erkennung dieser Leistungen wurde ihm 1!)05 von der 

 ungarischen Akademie der Wissenschaften zu Budapest 

 der Bolyai-Preis zuerkannt. Unter seinen geometrischen 

 Untersuchungen sind auch zu nennen seine Beiträge zur 

 Analysis Situs, insliesondere der Topographie der Flächen 

 in mehrdimensionalen Räumen. Mit seinen letzten 

 Arbeiten über die mehrfachen Integrale auf algebraischen 

 Flächen betrat er ein Gebiet, das in engster Weise die 

 Analysis der algebraischen Funktionen zweier Variableu 

 und die Theorie der algebraischen Oberflächen verbindet, 

 ein Gebiet, auf dem sein berühmter Kollege Pioard seit 

 längerer Zeit Lorbeeren gesammelt hat. Bndlich stehen 



