Nr. 16. 1899. 



Naturwissenschaf tliche Rundschan. 



XIV. Jahrg. 205 



Bandes des vorliegenden Handbuches der angekündigte 

 zweite Theil nachgefolgt. Er bildet den Schlufs und zu- 

 gleich die Krönung des Werkes , indem er uns in die 

 Tiefen der so bewundernswerthen, von Herrn Poincare 

 begründeten und in ihren wesentlichen Theilen aus- 

 gebauten Theorie der Fuchs sehen Functionen einführt. 

 Hier ist der Verf. auf seinem eigensten Gebiete, auf dem 

 er durch seine einschlägigen Arbeiten sich nicht nur 

 als gründlicher Kenner, sondern auch als erfolgreicher, 

 selbständiger Forscher bewährt hat. Zur Einleitung 

 dient die Theorie der elliptischen Modulf unetion, ent- 

 wickelt nach einer dem Verf. eigenthümlichen Methode, 

 die direct von den Periodicitätsmoduln des elliptischen 

 Integrals erster Gattung zur Darstellung des Moduls als 

 eindeutiger Function des Quotienten dieser Periodicitäts- 

 moduln führt und auf die Gausssche Theorie des 

 arithmetisch - geometrischen Mittels gegründet ist. Da 

 andererseits die Periodicitätsmoduln als zwei Fundamen- 

 talintegrale einer linearen Differentialgleichung zweiter 

 Ordnung, der Legendreschen, mit dem Modul als un- 

 abhängiger Variablen erscheinen, so ist dadurch die An- 

 knüpfung an das Problem gegeben , die Fälle der 

 Differentialgleichung der Gauss sehen Reihe, wovon die 

 Legen dresche ein besonderer Fall ist, zu ermitteln, in 

 denen die unabhängige Variable z als eindeutige Func- 

 tion des Integralquotieuten tj erscheint. Die Function 

 >] vermittelt alsdann die eindeutig conforme Abbildung 

 eines Kreisbogendreiecks in der ij-Ebene auf einer Halb- 

 ebene in der *-Ebene und wird daher eine eindeutig 

 umkehrbare Dreiecksfunction genannt, mit deren Theorie 

 sich der folgende (14.) Abschnitt beschäftigt. Je nach- 

 dem die Summe der Winkel des Kreisbogendreiecks 

 kleiner, gleich oder gröfser als zwei rechte ist, ergeben 

 sich drei wesentlich verschiedene Arten von Dreiecks- 

 funetionen. Nur für die dritte Art, wo die Monodromie- 

 gruppe der entsprechenden Differentialgleichung eine 

 endliche ist, ist z eine rationale Function von ij. Die 

 vier Möglichkeiten, die sich hier ergeben, werden nach 

 Herrn Schwarz auf die möglichen Fälle der Kugeltheilung 

 in ein Netz von congruenten und symmetrischen 

 sphärischen Dreiecken zurückgeführt, die nach Herrn 

 Klein als die des Dieders , Tetraeders, Octaeders und 

 Icosaeders charakterisirt werden. Zur Aufstellung der 

 rationalen Function selbst bedient sich der Verf. der 

 Hülfsmittel, die Herr Fuchs bei der Lösung des all- 

 gemeinen Problems der algebraischen Integrirbarkeit einer 

 linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit ratio- 

 nalen Coefficienten angewandt hat. wie Einführung der 

 Primformen, des reducirten Werthsystems eines Integrals, 

 und gewinnt dadurch einen natürlichen Zugang zu 

 dem Fuchsschen Problem. Zur Lösung desselben wird 

 der Kl ein sehe Satz herangezogen, wonach jede algebraisch 

 integrirbare, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung 

 durch Anwendung einer gewissen einfachen Transfor- 

 mation auf eine algebraisch integrirbare Gausssche 

 oder cyklische Differentialgleichung zurückgeführt werden 

 kann, und nach Herrn Fuchs gezeigt, wie alle auf das 

 Problem bezügliche Fragen durch rein rationale Pro- 

 cesse entschieden werden können. Den Uebergang zu 

 den beiden folgenden Abschnitten , die der Theorie der 

 Fuchsschen Functionen und dem Poincare sehen 

 Princip gewidmet sind, bereitet der Verf. durch eine 

 Betrachtung, die vorzüglich geeignet ist, das Poincare- 

 sche Princip dem Verstäudnifs nahe zu bringen. Die 

 inverse Function x der Modulfunction z = <p (x) ist 

 eine eindeutige Function, die innerhalb eines einfach 

 zusammenhängenden, von der realen i-Axe, als Linie 

 der Unbestimmtheit, begrenzten Bereichs überall mit 

 rationalem Charakter existirt und dort jeden Werth mit 

 Ausnahme der drei Werthe 0, 1 , oo annimmt („diese 

 Werthe ausläfst"). Ist nun y=f {x) eine Function von 

 X, die nur die drei Verzweigungsstellen 0, 1, oo besitzt, 

 so wird y als Function von z innerhalb des Existenz- 

 bereichs der Function ./. ebenfalls eindeutig sein, da die 



Werthe, für die sie sich verzweigen könnte, dort gar 

 nicht vorkommen. Somit läfst sich die functionale Be- 

 ziehung zwischen x und y dadurch darstellen, dafs beide 

 Variable als eindeutige Functionen eines Parameters z 

 ausgedrückt werden. Dies ist aber das Poincare sehe 

 Princip, angewandt auf jede Function x, die nur drei Ver- 

 zweigungsstellen besitzt, für welche ohne Beschränkung 

 der Allgemeinheit stets die Werthe 0, 1, oo genommen 

 werden können. Poincare hat nun bewiesen, dafs man 

 stets eine eindeutige Function x=g> (<)) herstellen kann, 

 für die der Bereich, wo sich die Function wie eine rationale 

 Function verhält, einfach zusammenhängend ist, und die 

 eine beliebige Anzahl vorgeschriebener complexer Werthe 

 ausläfst. Demnach ist jede Function y und ,r, die nur 

 diese Werthe als Verzweigungs werthe besitzt, gleich- 

 zeitig mit x als eindeutige Function des Parameters ij 

 darstellbar. Der Verf. zeigt indefs, dafs es zur Erreichung 

 dieses Zieles , nämlich zum Erweise der Möglichkeit 

 einer solchen Darstellung, nicht des ganzen Umfanges 

 der bezüglichen Poin car eschen Untersuchungen be- 

 darf. Nachdem er zunächst allgemein die Fuchsschen 

 Functionen als solche eindeutige Functionen z von >] 

 definirt hat, die bei den Substitutionen einer gewissen 

 projeetivischen Gruppe (der Fuchsschen Gruppe) un- 

 verändert bleiben und innerhalb eines gewissen Kreises, 

 der Linie der Unbestimmtheitsstellen, mit rationalem 

 Charakter existiren, ferner ihre Darstellung durch 

 Quotienten von Fuchsschen Thetareihen nach Herrn 

 Poincare, und eine zweite mittelst der auch hier ein- 

 geführten Primformen gegeben hat, fafst er einen Special- 

 fall der Fuchsschen Functionen ins Auge, der als die 

 unmittelbare Verallgemeinerung der eindeutig umkehr- 

 baren Dreiecksfunction , insbesondere der Modulfunction 

 angesehen werden kann. Es sind das solche Functionen 

 z=f (ij), die die conforme Abbildung eines Kreisbogen- - 

 polygons in der fj-Ebene auf einer Halbebene der z liefern, 

 und wo die Seiten des Polygons die Kreislinie der Un- 

 bestimmtheitsstellen , die den Existenzbereich der Func- 

 tion z begrenzt (Grenzkreis), rechtwinklig schneiden. 

 Unter dieser Annahme ist >; der Integralquotient einer 

 linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit der 

 unabhängigen Variable z, deren sämmtliche singulären 

 Stellen reale Werthe sind. Dieser entsprechen in der 

 )j- Ebene die Ecken des Kreisbogenpolygons. Liegen 

 noch insbesondere die Ecken auf der Peripherie des 

 Grenzkreises, so hat die Function z die charakteristische 

 Eigenschaft, innerhalb ihres Existenzbereichs die er- 

 wähnten reellen , singulären Werthe auszulassen. Zur 

 wirklichen Herstellung einer solchen Function, die eine 

 beliebige, endliche Anzahl vorgeschriebener, reeller 

 Werthe ausläfst, verfährt der Verf. nach einem ihm 

 eigenthümlichen Princip , das er bereits früher publicirt 

 hat, und das darin besteht, die functionale Beziehung 

 zwischen r\ und s durch einen Grenzübergang mittelst 

 einer Folge von Iterationen aus einer algebraischen Be- 

 ziehung hervorgehen zu lassen. Weiter wird dann ge- 

 zeigt, wie man von der so gewonnenen Fuchsschen 

 Function durch einfache Processe zu einer solchen ge- 

 langen kann, die beliebige vorgeschriebene, reale oder 

 complexe Werthe und überdies noch gewisse andere 

 nicht vorgeschriebene Werthe ausläfst, wodurch das oben 

 bezeichnete Poincare sehe Problem als vollständig ge- 

 löst zu betrachten ist. Wenn im Hinblick auf dieses 

 Ziel der Verf. auf die Darlegung der umfassenderen 

 Poincarescheu Untersuchungen verzichtet, so uuter- 

 läfst er es doch nicht, auf die Gegenstände derselben an 

 geeigneten Stellen hinzuweisen und insbesondere die 

 tiefe und so wichtige „methode de continuite" an einem 

 einfachen Beispiele zu erläutern. Der letzte (17.) Ab- 

 schnitt, „Theorie der Fuchsschen Zetafunctionen" be- 

 titelt, enthält aufgrund der vorhergehenden Entwicke- 

 lungen die Integration einer linearen, homogenen Diffe- 

 rentialgleichung beliebiger Ordnung mit rationalen 

 Coefficienten in der Form, dafs abhängige und unab- 



