Nr. 17. 1899. 



Naturwissenschaftliche Rundschau. 



XIV. Jahrg. 217 



machte, eine Verhaftung als Spion einzubringen ; aus dieser 

 Haft befreite ihn Darboux, indem er Aufklärung über 

 die räthselhaften Hieroglyphen der Niederschriften gab. 



Nach Christiania zurückgekehrt, begab sich Lie an 

 den Ausbau der Entwürfe, die in ihm seit dem Ende 

 der sechziger Jahre schlummerten. In überraschender 

 Fülle strömten ihm die neuen Ideen zu; eine grofse 

 Zahl von Abhandlungen , die in den Mathematischen 

 Annalen, in den Verhandlungen der Gesellschaft der 

 Wissenschaften zu Christiania und in dem von Lie mit- 

 begründeten Archiv für Mathematik und Naturwissen- 

 schaft zu Christiania erschienen, legten Zeugnifs ab von 

 dem Reichthum an neuen Gedanken , die ihm in un- 

 unterbrochenem Strome zuflössen. Nebenbei war er 

 durch eine kleine Professur in Christiania als Lehrer 

 beschäftigt. Sein Ansehen war gegen die Mitte der 

 achtziger Jahre bereits so grofs, dafs unter anderem auf 

 Veranlassung von Felix Klein ein Schüler desselben, 

 Herr Fr. Engel, nach Christiania ging, um an Ort uud 

 Stelle sich von Lie in die Ergebnisse der eigenartigen 

 Forschungen einweihen zu lassen. In ihm gewann der 

 norwegische Professor einen treuen und selbstlosen Ge- 

 hülfen für die systematische Darstellung seiner Ent- 

 deckungen. Als dann Felix Klein 1886 von Leipzig 

 nach Göttingen übersiedelte, wufste derselbe es vor 

 seinem Abgange durchzusetzen, dafs Lie als sein Nach- 

 folger nach Leipzig berufen wurde. Zwölf Jahre hatte 

 Lie diesen Lehrstuhl der Mathematik in Deutschland 

 inne und sammelte viele anhängliche und dankbare 

 Schüler um sich, die nicht nur aus Deutschland, sondern 

 auch aus Frankreich und Amerika zu ihm kamen , um 

 sich von ihm in seine Anschauungen einführen zu lassen. 

 Unter ihnen mufs Herr Scheffers genannt werden, 

 weil er, in ähnlicher Weise wie Herr Engel, sich durch 

 die Bearbeitung und Herausgabe von Vorlesungen seines 

 Lehrers verdient gemacht hat. — Im Sommer 1898 

 nach Christiania zurückberufen, wo für ihn eine persön- 

 liche Professur mit 10000 Kronen Gehalt errichtet 

 worden war, vertauschte er nicht ungern seinen Leip- 

 ziger Wohnsitz mit einem Hause in seiner Heimath ; doch 

 ein tückisches Schicksal raffte ihn schon nach einem 

 halben Jahre dahin. Der Tod nahm ihn zwar nicht in 

 dem jugendlichen Alter hinweg wie einst seinen berühmten 

 Landsmann Abel, aber doch viel zu früh für die Voll- 

 endung aller von ihm geplanten Arbeiten, für die Er- 

 füllung der an ihn sich knüpfenden Erwartungen. 



lieber seine Auffassung principieller Fragen hat er 

 sich in den Vorreden zu seinen Büchern öfters des 

 längeren geäufsert; daher können wir ihn selbst hier 

 darüber reden lassen. Auf seine Stellung zu der neuer- 

 dings weit getriebenen Specialisirung der Einzelfor- 

 schungen bezieht sich die folgende, seine Bestrebungen 

 kennzeichnende Ausführung in der Vorrede zu der „Geo- 

 metrie der Berührungstransformationen" (Leipzig 1896). 



„Die Zersplitterung der Mathematik hat auf die 

 Vertreter der einzelnen Disciplinen oft eine uugünstige 

 Wirkung gehabt. Während nämlich einige Geometer so 

 weit gehen, es geradezu als verdienstvoll zu betrachteu, 

 bei der Behandlung geometrischer Probleme auf die 

 Hülfsmittel der Analysis vollständig, richtiger gesagt in 

 möglichst grofser Ausdehnung zu verzichten, findet man 

 wohl andererseits unter den Analytikern hier und da 

 die Auffassung, dafs die Analysis nicht allein unab- 

 hängig von der Geometrie entwickelt werden könne, 

 sondern auch müsse, da nach ihrer Ansicht Beweise 

 analytischer Sätze durch geometrische Betrachtungen 

 nicht unbedingt zuverlässig sind. 



In meinen wissenschaftlichen Bestrebungen bin ich 

 immer von der Auffassung ausgegangen, dafs es im 

 Gegentheil wünschenswerth ist, dafs sich Analysis und 

 Geometrie ebenso wie früher auch in unserer Zeit gegen- 

 seitig stützen und mit neuen Ideen bereichern. Diese 

 Auffassung war erst im Jahre 1886 das Thema meiner 

 Antrittsvorlesung an der Universität Leipzig. 



Diese meine Auffassung versuche ich seit mehr als 

 25 Jahren durch eigene Arbeiten zur Geltung zu bringen. 

 Charakteristisch für meine Richtung dürfte es besonders 

 gewesen sein, dafs ich nach dem Vorbilde von Monge 

 die geometrischen Begriffe, namentlich die von Ponce- 

 let und P lücker eingeführten, für die Analysis ver- 

 werthet, und andererseits Lagranges, Abels und 

 Galois Ideen über die Behandlung der algebraischen 

 Gleichungen auf die Geometrie und besonders auf die 

 Theorie der Differentialgleichungen ausgedehnt habe." 



Wenn wir nach diesen orientiienden allgemeinen 

 Betrachtungen nun zu dem Gegenstande übergehen, dem 

 die Forschungen Lies gewidmet waren, so wollen wir 

 dies mit den Worten thun, die Felix Klein in seinen 

 „Vorlesungen über das Ikosaeder" (Leipzig, 1884) zu 

 demselben Zwecke gebraucht hat: 



„Meine Verpflichtungen gegen Herrn Lie gehen in 

 die Jahre 1869 bis 1870 zurück, wo wir in engem Ver- 

 kehr mit einander unsere Studienzeit in Berlin und 

 Paris abschlössen. Wir fafsten damals gemeinsam den 

 Gedanken , überhaupt solche geometrische oder ana- 

 lytische Gebilde in Betracht zu ziehen, welche durch 

 Gruppen von Aenderungen in sich selbst trans- 

 formirt werden. Dieser Gedanke ist für unsere beider- 

 seitigen späteren Arbeiten, soweit dieselben auch aus 

 einander zu liegen scheinen, bestimmend geblieben. 

 Während ich selbst in erster Linie Gruppen discreter 

 Operationen ins Auge fafste und also insbesondere zur 

 Untersuchung der regulären Körper und ihrer Bezie- 

 hung zur Gleichungstheorie geführt wurde, hat Herr 

 Lie von vorn herein die schwierigere Theorie der 

 continuirlichen Transformationsgruppen und somit 

 der Differentialgleichungen in Angriff genommen." 



Nach Wiedergabe dieser Stelle aus dem berufensten 

 Munde, die über das Verhältnifs beider Forscher zu ein-' 

 ander Aufschlufs giebt, können wir die Entstehung der 

 Lieschen Ideen nach der Vorrede von Bd. III seiner 

 „Theorie der Transformationsgruppen" (Leipzig 1893) 

 schildern, wo überhaupt ausführliche Angaben über die 

 Ansichten des Verf. zu finden sind. 



„Der Begriff der Transformation ist aus der Geo- 

 metrie hervorgegangen. Die Projection ist die älteste 

 Transformation; sie tritt schon bei den alten Griechen 

 auf, wurde aber systematisch zuerst von dem grofsen 

 Geometer Poncelet verwerthet; erst später bemächtigte 

 sich ihrer die Analysis und schuf die Theorie der pro- 

 jectiven und der linearen homogenen Trans- 

 formationen. Auch die Transformation durch 

 reciproke Radien tritt zuerst bei den Geometern auf, 

 obwohl allerdings ein Physiker, W. Thomson, der erste 

 war, der ihre grofse Wichtigkeit erkannt hat. Die Geo- 

 metrie hat ferner das Princip der Dualität und die 

 Lehre von der Transformation durch reciproke Polaren 

 entwickelt; schon Legendre benutzte diese Transfor- 

 mation in der Theorie der Minimalflächen, Poncelet 

 und Gergonne zeigten ihre aufserordentliche Tragweite, 

 während Plücker die dieser Transformation zu Grunde 

 liegende Idee in ihrer wahren Allgemeinheit entwickelte 

 und folgerichtig durchführte. 



Auch mir ist die Bedeutung des Begriffes der Trans- 

 formation zuerst in der Geometrie klar geworden. 

 Indem ich Plückers Ideen über Wechsel des Kaum- 

 elementes weiter verfolgte, gelangte ich schon 1868 zu 

 dem allgemeinen Begriffe der Berührungstransformation. 

 Dieser Begriff führte mich unter anderem zu einem 

 merkwürdigen Zusammenhang zwischen projectiver und 

 metrischer Geometrie; es zeigte sich, dafs die Unter- 

 suchung solcher Beziehungen, die bei projectiven 

 Transformationen ungeändert bleiben, gleich- 

 bedeutend ist mit der Untersuchung der Beziehungen, 

 die bei einer gewissen Kategorie von Berührungs- 

 transformationen invariant bleiben, einer Kate- 

 gorie, die die metrische Geometrie beherrscht. 



Sehr bald erkannte ich auch die hohe Bedeutung 



