Nr. 42. 1899. 



Naturwissenschaftliche Rundschau. 



XIV. Jahrg. 539 



Flächenstückes unmöglich ist. Hierzu brauchte er das 

 geometrische Axiom von Camille Jordan, dafs eine 

 geschlossene Curve einen Flächeninhalt einschliefst. 

 Discussion : Klein (Göttingen), Pringsheim (München) 

 bezweifelten die Beweiskraft des Jordanschen Axioms 

 für die Mengenlehre; Schoen flies stimmte darauf 

 diesem Bedenken zu. 



Dritte Sitzung, Dienstag, 19. September Nach- 

 mittags 3 Uhr. Vorsitzender: Klein (Göttingen). 

 Herr M. Lerch (Freiburg, Schweiz): „Arithmetisches 

 über unendliche Reihen". Der Fehler, welcher bei der 

 zahlenmäfsigen Berechnung der Summe einer Reihe 

 entsteht, setzt sich zusammen: 1. aus der Summe der 

 überhaupt nicht in die Rechnung einbezogenen Glieder, 



2. aus der Summe der Fehler jedes einzelnen der be- 

 rücksichtigten Glieder, die ja nur auf eine gewisse An- 

 zahl von Decimalen eingestellt werden. Der Vortragende 

 zeigte, dafs man infolge des verschiedenartigen Einflusses 

 beider Fehlerquellen unter Umständen durch Aus- 

 weichung der einzelnen Glieder auf eine höhere Anzahl 

 von Decimalen einen gröfseren Fehler erhalten kann, 

 welche Fälle für die Praxis allerdings keine Bedeutung 

 haben. Discussion: Schoen flies subsumirte dieses 

 unter den doppelten Grenzübergang bei einer Function 

 zweier Variabein. Pringsheim verwies auf seine be- 

 züglichen Artikel in der neu erscheinenden mathemati- 

 schen Encyklopädie , London (Breslau) auf eine dem- 

 nächst erscheinende Arbeit in den Mathematischen An- 

 nalen. Klein freute sich über die dem praktischen 

 Rechnen zugewandte Seite des Themas und fragte nach 

 systematischer Behandlung der Fehlerquellen beim 

 Rechnen (Bremiker). — Herr N o e t h e r (Erlangen) : 

 „Mittheilungen über Riemanns Vorlesungen 1861/62 

 über Abelsche Functionen". Die Nachschriften dieser 

 Vorlesungen rühren her von 1. Roch, 2. Prym, 



3. Minnigerode. Der mit der Herausgabe dieser Vor- 

 lesungen betraute Vortragende hat in ihnen manches 

 nicht gefunden, was nach den früheren Angaben von 

 Roch und Prym in ihnen enthalten sein soll; dagegen 

 ist er andererseits auf vieles gestofsen, was man bisher 

 nicht vermuthet hatte. Besonders in der Theorie der 

 Charakteristiken steht Rie mann schon auf dem modern- 

 sten Standpunkte der Gruppentheorie. Discussion : 

 Weber (Strafsburg), Klein. Auf die Bemerkung 

 Kleins, es sei merkwürdig, dafs im Nachlasse vonRie- 

 mann noch immer Sachen sich finden, welche die 

 eigenen Schüler nicht publicirt haben, entgegnete Weber, 

 das seien eben damals noch Studenten gewesen, welche 

 die Wichtigkeit der vorgetragenen Dinge und ihre Neu- 

 heit nicht kannten. — Herr J. Hörn (Charlottenburg): 

 „Divergente Reihen in der Theorie der Differential- 

 gleichungen". Die Ausführungen des Vortragenden, der 

 zur Erläuterung ein Beispiel aus der Theorie der linearen 

 Differentialgleichungen zweiter Ordnung hinzufügte, 

 zielten dahin ab, dafs divergente Potenzreihen ein gutes 

 Mittel zur Untersuchung des Verhaltens der Function in 

 der Nähe singulärer Punkte des Unendlichen geben. 

 Discussion: Abraham (Berlin). — Herr E. Schimpf 

 (Bochum): „Einführung eines Mafses der Convergenz 

 (bezw. Divergenz) in die Lehre von der Convergenz 

 der unendlichen Processe (Reihen, Producte, Ketten- 

 brüche u. s. w.)". Der auf eine längere Dauer berechnete 

 Vortrag sollte fünf Theile umfassen, mufste aber auf den 

 ersten Theil — Mafs der Convergenz — und den letzten 

 — Begriff der Convergenz — beschränkt werden. Im 

 ersten Theile wurde für unendliche Reihen gezeigt, wie 

 eine Function F(n) bestimmt werden kann, die mit einer 

 gegebenen infinitär gleich ist und dabei den einfachsten 

 Bau aufweist, also als Mafs der Convergenz dienen kann. 

 Bei der Erörterung des Begriffes der Convergenz wurde 

 ein Beispiel besprochen, das, unter die Reihen einge- 

 ordnet, convergent ist, unter die Producte gestellt, aber 

 nicht, falls man die übliche Definition anwendet. Dis- 

 cussion: Pringsheim erklärte den scheinbaren Wider- 



spruch für einen Streit um Worte. — Herr Z i n d 1 e r 

 (Wien) : „Ueber Complexcurven und ein Theorem von 

 Lie". Der Vortrag zerfiel in zwei Theile. Der erste 

 Theil beschäftigte sich mit der Umkehrung des bei Lie 

 vorkommenden Gedankengauges bezüglich der partiellen 

 Differentialgleichung für die Complexcurven. Der zweite 

 Theil wies an einem Beispiele die Unrichtigkeit des 

 Satzes von L i e nach , dafs sämmtliche Curven eines 

 linearen Complexes, die durch einen und denselben 

 Punkt gehen, die nämliche Torsion haben. Discussion: 

 Scheffers (Darmstadt) vermuthete eine Confusion; viel- 

 leicht sei das Verhältnifs von Torsion zur Krümmung ge- 

 meint. — Herr Hubert (Göttingen): „Ueber den Zahlbe- 

 griff ". In der Arithmetik geht man von den ganzen Zahlen 

 als Resultat des Zählens aus und erweitert diese allmälig zu 

 negativen, gebrochenen, irrationalen Zahlen; diese Me- 

 thode verfährt also genetisch. In der Geometrie da- 

 gegen geht man axiomatisch vor nach dem Vorbilde 

 von Euklid. Dieser letzteren axiomatischen Methode 

 giebt Hubert den Vorzug, auch für die Arithmetik, 

 und skizzirt demnach kurz die hierbei als nöthig er- 

 kannten Axiome, die gruppirt werden als solche 1. der 

 Verknüpfung, 2. der Rechnung, 3. der Anordnung, 

 4. der Stetigkeit. Ein Vorzug dieser Methode, deren 

 Wesen der Vortragende für die Geometrie in seiner 

 Festschrift „Grundlagen der Geometrie" in aller Schärfe 

 untersucht hat, und die er für die Arithmetik in seinen Vor- 

 lesungen über Differentialrechnung verwerthet hat, be- 

 steht darin , dafs viele Einwände gegen die Gültigkeit 

 der Operationen mit den allgemeinen Zahlen von vorn 

 herein hinfällig werden. Discussion: Klein fragte nach 

 der genetischen Behandlung der Geometrie, was Hu- 

 bert kurz beantwortete. 



Vierte Sitzung, Mittwoch, 20. September ll'/i Uhr, 

 gemeinsame Sitzung der naturwissenschaftlichen Haupt- 

 gruppe. Vorsitzende: Wislicenus (Leipzig), Klein. 

 Thema: „Referate und Berichte über die Frage der Decimal- 

 theilung von Zeit und Kreisumfang". F. Klein theilte 

 mit, dafs die deutsche Mathematiker-Vereinigung in der 

 Düsseldorfer Tagung eine Commission von Fachleuten 

 aus verschiedenen betheiligten Kreisen zum Berichte 

 über die Frage der Decimaltheilung der Zeit und des 

 Winkels eingesetzt hat. Die nämliche Frage steht für 

 die in Paris für 1900 anberaumten, internationalen Con- 

 gresse auf der Tagesordnung; da die Stellung der deut- 

 schen Regierung zur Frage unbekannt ist, so scheint es 

 wichtig, die Meinungen und Wünsche sachverständiger 

 Kreise festzustellen, damit nicht die Beschlüsse in Paris 

 gegen dieselben ausfallen. — Erster Referent: Mehmke 

 (Stuttgart) (Mathematiker). Derselbe vertritt den rein 

 abstracten Gesichtspunkt und befürwortet die Centesimal- 

 theilung des Quadranten und seiner Theile. Die Com- 

 mission, welche sich durch den Geodäten B ö r s c h (Pots- 

 dam) verstärkt hat, ist dahin übereingekommen, die 

 ganz aussichtslose Decimaltheilung der Zeit auszuscheiden, 

 sich also nur mit der Winkeltheilung zu befassen. Diese 

 Frage hat schon 1889 die Abtheilung für Instrumeuten- 

 kunde auf der Naturforscherversammlung zu Heidelberg 

 beschäftigt, 1890 den Mechanikertag zu Bremen. Beide 

 Versammlungen stimmten in ihren Beschlüssen darin 

 überein, dafs die Entscheidung nicht bei der Präcisions- 

 mechanik, sondern bei der Praxis stehe. — Wenn man 

 in der Analysis den Winkel durch den Bogen mifst, so 

 hat man wegen der Irrationalität der Zahl n, der Periode 

 der trigonometrischen Functionen, mit unbequemen irra- 

 tionalen Zahlen zu rechnen; dieses Mafs ist also nicht 

 brauchbar für die Praxis; denn die praktische Winkel- 

 theilung hat die Rechnung mit den Zahlen bequem zu 

 machen, und damit ist der Quadrant oder der rechte 

 Winkel als Einheit gegeben. Die von den Babyloniern 

 eingeführte Sexagesimaltheilung hatte ihre Berechtigung, 

 so lange auch bei dem Zahlensystem das sexagesimale 

 in Geltung war. Die ursprünglich vorhandene Harmonie 

 wurde aber früh gestört, zuerst als Albategnius um 



